Relaciones y Funciones
Santa Rosalía – Vichada
ASIGNATURA: MATEMATICAS
GRADO: NOVENO
TIEMPO: 3 HORAS
METODOLOGIA: ELABORACION DE GUIAS
INDICADOR DE LOGRO: Determinar el producto de dos conjuntos en el plano cartesiano y cuando se presente una relación entre estos dos conjuntos, identificar y explicar cuándo la relación es reflexiva, transitiva o simétrica.
RELACIONESY FUNCIONES
Relaciones
Una relación se define como un subconjunto de un producto cartesiano.
Simbólicamente:
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A conjunto de partida
B conjunto de llegada.
Ejemplo
Sean los conjuntos:
A = (2, 4, 6)
B = (1, 2, 3)
A x B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}
Un subconjunto S que satisfaga x > y será:
S = {(2,1), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}
Relación inversa
Sean los conjuntos:
A = (1, 2, 3, 4)
B = (1, 2)
Definamos la relación, x es divisor de y.
Luego:
R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) }
Gráficamente:
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Encontremos ahora la relación S de B en A dada por "y es múltiplo de x"
S = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) }Gráficamente:
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Relación reflexiva
Sea el conjunto
A = {1, 2, 3}
Relacionar A en A y escribir las parejas ordenadas:
R = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }
Cada uno de los elementos de A está relacionado consigo mismo, es decir, cada pareja ordenada pertenece a la relación. Relaciones con estas características reciben el nombre de reflexivas.
Simbólicamente se puedeexpresar como:
Para todo elemento:
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Diagrama sagital:
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Relación simétrica
Sea la relación R = {(3, 4), (5, 6), (6, 5), (4, 3)} cada pareja ordenada de la relación tiene su recíproco, es decir, para (3, 4) existe (4, 3), que también pertenece a R.
Cuando en una relación de x con y se deduce la relación y con x, se puede decir que la relación es simétrica, es decir:
|Gráficamente:
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Relación transitiva
Analicemos la siguiente relación
R = { ( 4 , 5 ) , ( 5 , 2 ) , ( 4 , 2 ) }
El elemento 5 se relaciona en la primera y segunda pareja ordenada y sirve para obtener otra pareja ordenada con los elementos con los cuales se ha relacionado en la primera y segunda pareja ordenada. Cuando en una relación se presenta esta característica se puede decir que la relación estransitiva.
Simbólicamente:
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Gráficamente:
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Relación equivalente
Si una relación es al mismo tiempo reflexiva, simétrica y transitiva se puede decir que es equivalente. Un ejemplo de relación equivalente puede ser: "b es paralelo a, a"
Gráficamente:
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Analizando la gráfica:
-La recta a se puede considerar paralela a sí misma, es decir, cumple con la propiedad para serrelación reflexiva.
-Por definición la recta a es paralela a la recta b, y viceversa, luego la relación en este aspecto es simétrica.
-También se deduce que si la recta a es paralela a la recta b y a es paralela a otra recta c, entonces b es paralela con la recta c.
Esta es la condición para que se cumpla la relación transitiva.
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Si a es paralela a b, y b es paralela a c,entonces a es paralela a c.
Ejercicios
- Analiza si la relación "ser perpendicular a" es una relación de equivalencia.
- Dado el conjunto Q = { 10, 12, 13, 15 }, y la relación
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- Realiza el conjunto de parejas ordenadas.
- Construye el diagrama correspondiente.
- Elabora el plano cartesiano.
- Hallar el dominio y el codominio de la relación.
¿Qué tipo de relación es?.
FUNCION
Unafunción es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.
No estamos en presencia de una función cuando:
* De algún elemento del conjunto de partida no...
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