relaciones y funciones



Índice
I. Índice pag.2
II. Introducción pag.3
III. Desarrollo pag.4
IV. Conclusión pag.7
V. Bibliografía pag.8



Introducción
En este documento abordaremos los distintos tipos de relaciones y funciones con sus respectivos ejemplos de cada tipo. Una vez entendidos los distintos tipos no daremos cuenta de lo común que es utilización en la vidadiaria lo mucho que facilitan ciertas tareas.
Veremos algunos ejemplos y trataremos de ver las funciones y relaciones desde un punto vista práctico.


Relaciones y funciones
Las relaciones y funciones pueden hacerse con más facilidad mediante el producto cartesiano de conjuntos. En efecto la relación se la hace analizando todo subconjunto del producto cartesiano. Por ejemplo, dado un conjuntoP de personas que conforman una familia.
P = {Pedro, Roxana, Carla, Pablo, Tomas}
Para poder analizar la relación "x" es padre de "y" debemos primero hacer el producto cartesiano del conjunto P.
P x P = { (Pedro, Pedro), (Pedro, Roxana), (Pedro, Carla), (Pedro, Pablo), (Pedro, Tomas), (Roxana, Pedro), (Roxana, Roxana), (Roxana, Carla), (Roxana, Pablo), (Roxana, Tomas), (Carla, Pedro), (Carla,Roxana), (Carla, Carla), (Carla, Pablo), (Carla, Tomas), (Pablo, Pedro), (Pablo, Roxana), (Pablo, Carla), (Pablo, Pablo), (Pablo, Tomas), (Tomas, Pedro), (Tomas, Roxana), (Tomas, Carla), (Tomas, Pablo), (Tomas, Tomas) }.
Ahora analizando los subconjuntos del resultado se saca la relación siguiente: { (Pedro, Carla), (Pedro, Pablo), (Pedro, Tomas), (Roxana, Carla), (Roxana, Pablo), (Roxana, Tomas)} la cual nos muestra que Pedro como Roxana son padres de Carla, Pablo y Tomas.
También se puede tener relaciones que no involucren a todos los elementos como: a) "x" es hermano de "y” Analizando los subconjuntos tenemos la relación siguiente: { (Tomas, Carla), (Tomas, Pablo) }, la cual nos muestra que Tomas es hermano de Carla y Pablo) "x" es pareja de "y” En esta relación solo tenemos unsubconjunto, que es: { (Pedro, Roxana) }, el cual nos muestra que Pedro es pareja de Roxana.
Se llama inverso de una relación R, expresado por R^-1, a aquella en donde se cambia el orden de los pares ordenados, es decir:
Se llama inverso de una relación R, expresado por R^-1, a aquella en donde se cambia el orden de los pares ordenados, es decir:




Ej.: inverso de la relación: {(1,4),(2,3),(3,5) } es igual a { (4,1),(3,2),(5,3)}.
Una relación binaria R sobre un conjunto A, es reflexiva o refleja, si todo elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R.
La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado(A, R).
Es decir:

Por ejemplo A= {1, 2, 3} la relación sería: {1, 2, 3} x {1, 2, 3} = { (2, 2), (2, 3), (3, 3) ,(1, 2), (1, 1), (1,3)}.
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reflexividad.
Pero no lo hace con los elementos:{(2, 2), (2, 3), (1, 2), (1,1), (1, 3) }. Porque no todos los elementos de A están relacionados consigo mismos mediante R, entonces decimos que es irreflexiva, anti reflexiva o antirrefleja, lo que se denota por:


En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de antireflexividad.
Simetría: Decimos que una relación es simétrica cuando contiene un par ( y , x ) para cada par ( x ,y ).Por ejemplo: Una relación que sería simétrica es la siguiente:Una relación que no cumpliría con la relación de simetría sería la siguiente:

Transitividad: Decimos que una relación es transitiva cuando se cumple que:1) La relación incluye un par ordenado (x,y) y uno (y,z).2) La relacióncontiene un par (x,z).

Usando un ejemplo de la vida real, hacemos la primera relación (x, y) Gastón es mayor que Juan. La segunda relación (y, z) Juan es mayor que Fabián. Por ende para que la relación sea transitiva tiene que contener el par (x, z), la cual es la relación Gastón es mayor que Fabián.
Cerraduras: Las relaciones entre conjuntos pueden tener grupos de pares ordenados llamados...