relaciones y funciones

funciones

Capítulo 1 . RELACIONES Y FUNCIONES

1.1.Introducción
La idea de función no solo es importante en matemáticas, sino en cualquier ciencia que desee
establecer nexos entre objetos de estudio, pues es una de las mejores formas de poner en
correspondencia una cantidad con otra. Muchos modelos matemáticos se describen mediante el
concepto de función. Un fabricante desea conocer larelación o correspondencia entre las
ganancias de su compañía y su nivel de producción, un biólogo se interesa en el cambio de
tamaño de cierto cultivo de bacterias con el paso del tiempo, un psicólogo quisiera conocer la
relación o correspondencia entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una lista
de palabras, un químico le interesa la relación o correspondencia entre lavelocidad inicial de una
reacción química y la cantidad de sustrato utilizado, a un comerciante la relación o
correspondencia entre cada artículo de un estante con su precio, etc. En cada caso la pregunta es
la misma: ¿cómo depende una cantidad de otra? Esta dependencia entre dos cantidades es la
correspondencia entre diversos tipos de fenómenos y se describe convenientemente en
matemáticasmediante una función.

1.2. PRODUCTO CARTESIANO
El concepto de producto cartesiano

es empleado con mucha frecuencia en diversas

disciplinas del conocimiento. Además su uso es útil para establecer el orden entre los
elementos, ya sea de un mismo conjunto o de diferentes conjuntos, siempre que se aplique o
establezca una regla o ley que permita relacionar dichos elementos.

Dados dosconjuntos A y B diferentes de vacío, se define el producto cartesiano de
A y B como el conjunto de parejas ordenadas
tales que
.
Simbólicamente se representa
.

Ejercicio 1:

1
1. Dados los conjuntos: A   ,2,3 B   1,2,3. Hallar y representar gráficamente en el
plano cartesiano: A  B ; B A . ¿Cómo son los productos A  B ; B A .?

Willington Benítez

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funciones1. ¿Qué se puede decir con respecto al número de parejas del producto cartesiano de A  B
y el número de elementos de A y de B?
2. Dados los conjuntos: A   ,2,3
1

B   . ¿ Se puede hallar el producto cartesiano de

A  B ?, ¿Cuántas parejas ordenadas tiene el producto de A  B ?
3. Representar gráficamente A  R y B   2  x  1
4. Representar gráficamente A  x  R : 1  x 1 y B   2  y  1

1.3. RELACIONES.
El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema en general. Por
ejemplo, en los números naturales, podemos hablar de la relación ser menor o igual que. Bajo
esta relación, por ejemplo, el número 4 se relaciona con el número 7 pero no al contrario, y el 0
se relaciona con todos los elementos. De igual forma se puedeestablecer relaciones como los
siguientes:
Ejemplos:
a) Correspondencia entre cada persona y su edad
b) Correspondencia o relación entre el nombre de un estudiante y las materias que cursa
c) Correspondencia o relación entre el nombre de un estudiante y documento de identidad
Dados dos conjuntos: A  0,1,2,3 B  0,1,4,9 . Hallemos el producto cartesiano de A  B

A  B  0,0, 0,1, 0,4,0,9, 1,0, 1,1, 1,4, 1,9, 2,0, 2,1, 2,4, 2,9, 3,0, 3,1, 3,4, 3,9
Seleccionemos

de las parejas ordenadas

del producto cartesiano A  B , que cumplan la

condición siguiente: que la segunda componente sea el cuadrado de la primera componente; este
subconjunto se denomina R :

R  0,0, 1,1, 2,4, 3,9

Willington Benítez

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funciones

Dados dos conjuntos A y B una relación R de A en B es un subconjunto del producto

cartesiano de A  B . Observa que A  B es una relación ya que A  B  A B .
 El conjunto   A  B se conoce como la relación vacía

Ejercicio 2: Teniendo en cuenta el ejemplo anterior determine:




2. R   a,b  A  B a  b=

3. R   a,b  A  B b  a  1=

a  b, es par=
4. R  ...