Relaciones Y Funciones

RELACIONES
Entre las cosas que se pueden estudiar de un conjunto esta la clasificación de sus
elementos, su ordenación, o intentar establecer algunas conexiones entre ellos.
Formalmente, una relación R de un conjunto A en un conjunto B, es un
subconjunto de AxB, esto es un elemento de conjunto de partes ℘(AxB); le
colección de todas las relaciones de A en B es precisamente ℘(AxB).CONSTRUCCIÓN DE RELACIONES
Una manera de construir relaciones de un conjunto A en un conjunto B es
simplemente formar el producto cartesiano AxB y tomar de ahí caprichosamente
algunas parejas, este sin embargo es un método algo primitivo y casi nunca da
buenos resultados, es mejor establecer un criterio de selección que permita ver
algunas propiedades en la relación.
Si tenemos una relación R en unconjunto A (de A en A), ella define una relación
en todo subconjunto B de A considerando solamente las parejas formadas con
elementos de B (naturalmente puede ser vacía) así por ejemplo en el conjunto de
los números naturales
N = ⎨ 0 , 1 , 2 , ...................... ⎬
Decimos que le numero natural n es mayor que m si existe otro número natural p
que cumpla :

m+p =n
Esto es una relación Nque notamos n > m.
Esta relación en N induce por restricción una relación en todo subconjunto de él,
como los números pares impares, primos o el conjunto finito :
A = ⎨3 , 5 , 6 , 7 , 8, 234 ⎬
Esta relación es la que nos permite saber que en A también se tiene que 8 > 7.
Esto bien pudiera no ser así, por ejemplo si le cambiamos el significado al símbolo
>.
Enfaticemos que el significado delos símbolos lo asignamos nosotros; hay
algunos muy usuales que por convenio tienen sentido universal como +, %, > pero
si queremos los podemos cambiar, claro que surgirían dificultades en la
comunicación y cada vez que quisiéramos charlar sobre el tema, tendríamos que
empezar definiendo cada símbolo, esto es lo que hacen los que se dedican a
escribir en calve para seleccionar elinterlocutor, como los canales de televisión

por satélite que están codificados para que solo los “ entiendan “ aparatos
adecuados como decodificadores.
Observe que en la relación dada para N siempre se cumple que si
n > m y m > s entonces n > s
Esta propiedad se conoce como propiedad transitiva.
Una relación que solo sea transitiva se conoce en matemáticas como preorden.
Las propiedades ocualidades de una relación son las que determinan su utilidad e
interés, todos podemos inventarnos relaciones pero en general no todas resultan
ricas en propiedades que permitan ir mas allá y den lugar a otras construcciones.
RELACIONES DE ORDEN
Si construimos una relación ≥ en las que establecemos que dos elementos están
en ella si uno es mayor que otro o si es igual, esta nueva relación tiene maspropiedades que el solo preorden.
Naturalmente se tiene todo numero natural n es igual a si mismo. Es decir la
pareja (n , n) está en la relación para todo n. Esta propiedad se conoce como
propiedad reflexiva de la relación.
Además se tiene que si n ≥ m y a su vez también se cumple que m ≥ n entonces
m = n. Esta es la propiedad antisimetrica para la relación.
FUNCIONES
Supongamos por ejemploque X es el conjunto de alumnos de un salón de clases
y Y es el conjunto de números naturales N.
Una manera de relacionar el conjunto X con el conjunto Y es asignar a cada
estudiante del salón de clase su edad en años cumplidos. El conjunto formado por
todas las parejas cuyas primera y segunda componentes son el alumno y su edad
respectivamente, es un subconjunto del producto cartesiano XxY.Tenemos
entonces que es una relación del conjunto X en el conjunto Y.
Analicemos las características de esta relación. Cada estudiante aparece como
primera componente de una pareja por lo menos una vez; en la pareja cuya
primera componente es él y cuya segunda componente es su edad. Además esta
es la única pareja en la cual el estudiante aparece como primera componente,
cada estudiante...