Relaciones

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Relación binaria

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Sea A un conjunto cualquiera; se dice que R es una relación binaria en A si R ⊆ A×A, es decir, si R es un subconjunto del producto cartesiano de AxA.

Ejemplo
[pic]

- Dado el conjunto A:

[pic]
y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede ver que solo hay unconjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto, en este caso representado por las flechas.

En este caso podemos decir:

[pic]
[pic]

Como enumeración de las relaciones entre los elementos del conjunto A.

Lo que se lee “el elemento a está relacionado con el elemento b”, “b está relacionado con c”, “c está relacionado con d”, “d está relacionado con d”, “destá relacionado con b” y “b está relacionado con a”

Relación binaria como una correspondencia
También podemos representar una relación binaria como una correspondencia de A sobre A:

[pic]

[pic]
Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, esto nos permite emplear la estructura de las correspondencias para estudiar una relación binaria, teniendosiempre en cuenta, que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este con el a.

Subconjunto del producto cartesiano
Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:

Dado el producto [pic] de pares ordenados (x, y), donde x, ypertenecen a A, la relación binaria será el subconjunto de [pic]que contiene todos los pares de elementos relacionados.

|d |(a, d)|(b, d) |(c|
| | | |, |
| | | |d)|
| | |[pic]| |
| | |[pic] | |
| | |[pic] |[p|
| | | |ic|
| | | |] |

el conjunto R de la relación binaria se representa:

[pic]
Notese que en el ejehorizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final.

Segundo ejemplo
La divisibilidad podemos considerarla como una relación binaria:

R = {(x, y) ∈ ℤ×ℤ: x divide a y}.

En este caso, diríamos que dos números a y b pertenecientes a los enteros (representado como el conjunto Z) estarían relacionados por R si a divide a b, o dicho más precisamente: a/b.Otro modo de definir esta relación (y cualquier otra) sería:

a R b ↔ a / b.

Propiedades de las Relaciones

Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. R será:

▪ Reflexiva si xRx (x se relaciona consigo mismo) para todo x ∈ A.
▪ Antirreflexiva si para todo x ∈ A, x no se relaciona consigo mismo.
▪ Simétrica si para todo x, y ∈ A tales que xRy se cumple queyRx.
▪ Antisimétrica si para todo x, y ∈ A tales que xRy e yRx se tiene que x = y.
▪ Transitiva si para todo x, y, z ∈ A tales que xRy e yRz, se cumple que xRz.
▪ Circular si para todo x, y, z ∈ A tales que xRy e yRz, se cumple que zRx.


Reflexiva

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es reflexiva o refleja si todo elemento de A está relacionado consigo mismomediante R.

Es decir,

[pic]
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reflexividad.

La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A,R)

Representación Relación Reflexiva

Sea R una relación reflexiva aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria....
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