Relaciones

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Relaciones
1. Concepto de Relación
2. Representación de las Relaciones
3. Tipos de Relación y Operaciones
4. Propiedades de las Relaciones

1.-Concepto de relación

• Para los conjuntos A, B Í Á , el producto cartesiano, de A y B se denota con [pic]y se define como [pic]

= {(a, b) tales que aΠA, b Î B}

• Decimos que los elementos de [pic]son pares ordenados.
• Se define quepara todo a Î A  [a] = {y Î B, a Â y}
• Para los conjuntos A, B Í Á , cualquier subconjunto de [pic]es una relación de A en B.
• Cualquier subconjunto de [pic]

es una relación binaria en A.

Producto Cartesiano

Definición de Producto Cartesiano

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera , se define producto cartesiano, y se denomina A x B, como el conjunto de todos los pares ordenados cuyasprimeras componentes pertenecen al conjunto (A) y las segundas componentes pertenecen al conjunto (B).

Conjuntos producto

Un par ordenado (a, b) es una lista de los objetos a y b con un orden prescrito donde a aparece en primer lugar y b en el segundo. Por consiguiente, un par ordenado es únicamente una sucesión de extensión 2. A partir de la explicación previa sobre las sucesiones (véasela sección 1.2). Se tiene que los pares ordenados (a1, b1) y (a2, b2) son iguales si y sólo si a1 = a2 y b1 =b2 Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define el conjunto producto o elproducto cartesiano A x B como el conjunto de pares ordenados (a, b} donde a £ A y b £ B. Por tanto,

A x B = {(a, b)|a £ A y b £ B]

B r s

A

1 (1,r) (1,s)

2 (2, r) (2, s)

3 (3.r) (3s)

Ejemplo 1Sea

A ={1,2, 3} y B={r,s}

Entonces

A x B = {(1, r). (1, s), (2, r), (2, s), (3, r), (3, s)}

Observe que los elementos de A x B se pueden acomodar adecuadamente en un arreglo tabular como lo muestra la figura 1.

Teorema 1 Para cualquier par de conjuntos finitos no vacíos A y B, | A x B | = | A | | B |.

Demostración. Se probará esto por inducción matemática. Sea P{n) la siguienteproposición: Si A y B son conjuntos finitos y | B | = n, entonces | A x B | = | A | |B|.

Paso básico. Se prueba P(1). Sea|A| = my |B| = 1.Por tanto, A = {a1 ... an} y B as {fci}, por lo cual

AxB={(a1...b1),...,(am,b1)} y |A x B| = m = m-1 = |A|.|B|

Paso inductivo. Supóngase que P(n) es verdadera para algun n s 1, y sean A y B conjuntos finitos con |A|=m y |B|= n+l.Se dice que A = {a1 ... am}y B == {b1, ...,bn, bn+1}. Sea C = {b1, ..., bn} Entonces, si (a, b) £ A x B, b £ C o b=bn+1. El número de pares (a, b) cuando b £ C es | A x C |, que es igual mn. También, hay m pares (a1, bn+1), (a2, bn+1), ..., (am, bn+i) con el segundo elementó igual a bn+1. Entonces el número total de pares en A x B es mn + m, esto es | A x B | = mn + m = m(n + 1) = | A | • |B |, por lo cual P(n + 1) esverdadera.

Si ∏ == a, x1, x2,..., xn,-1,b, ees una trayectoria de longitud n en una relacion de a a b, entonces la trayectoria inversa que se escribe ∏~1.

b) Dominio y codominio

Una relación es un subconjunto R cualquiera de un producto cartesiano A x B, RÌ A x B Una función es una relación F de un producto cartesiano A x B tal que si (a1,b1) (a2,b2)Î F entonces b1 ≠ b2-à a1 ≠ a2 esto esequivalente a decir a1= a2 -à b1=b2. Al conjunto A se le llama dominio de la función F y al conjunto B se le llama codominio o contradominio de la función.

2.-REPRESENTACIÓN DE LAS RELACIONES

a) Enumerado de pares

Ahora bien, cualquier relación R de un conjunto A a un conjunto B define unívocamente un subconjunto R* de A X B como sigue:

R* - {(a, b) : a está en relación con b} = {(a, b) :a R b}

Por otra parte, cualquier subconjunto R* de A X B define una' relación R de A a B como sigue:

a R b sii (a, b) ΠR*

En vista de la correspondencia que hay entre las relaciones fi de A a B y los subconjuntos de A X B, volvemos a definir la relación como sigue:

[Definición] Una relación R de A a B es un subconjunto de A X B.

Diagrama sagital

Una forma de representar el...
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