Relación Masa Volumen

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Nacional de Ciencias Biológicas

Física

Práctica I: Relación Masa Volumen

Grupo 1IM2



SEMESTRE 13-1

OBJETIVOS

* Obtener el valor de la densidad de un material dado, usando la regresión lineal.
* Introducir el método de cuadrados mínimos en la determinación de ecuaciones empíricas.
* Mediante el cálculo del factor decorrelación, analizar la confiabilidad inicial del modelo matemático obtenido de la regresión lineal; en base a esto, tomar la decisión de aceptar o no el valor de la densidad determinada por este método.

INTRODUCCIÓN

DENSIDAD: Masa de una sustancia por unidad de volumen. En general, cualquier entidad por elemento de espacio (por ejemplo cantidad de puntos por área)

…1
Por lo tanto:Integrando, nos lleva a:
V=mρ+C …2

La ecuación (2) es la forma analítica que relaciona a las variables de masa, volumen y densidad, posteriormente se obtendrá la ecuación empírica o experimental, con la misma relación en parámetros físicos.

LEY DE CUADRADOS MÍNIMOS: Es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto depares ordenados: (variable independiente, variable dependiente) y una familia de funciones, se intenta encontrar la función, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (la "mejor recta"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.
Lo utilizamos cuando los puntos observados (datos experimentales), al graficarse, muestran una tendencia lineal, se busca una recta que másse aproxime a los puntos observados (el espacio entre los puntos y la recta es el margen de error, la mejor recta es aquella con el menor margen de error) la recta obtenida de fórmula y=ax+b.
Sea  un conjunto de n puntos en el plano real, y sea  una base de m funciones linealmente independientes en un espacio de funciones. Queremos encontrar una función  que sea combinación lineal de lasfunciones base, de modo que , esto es:

Por tanto, se trata de hallar los m coeficientes  que hagan que la función aproximante  dé la mejor aproximación para los puntos dados . El criterio de "mejor aproximación" puede variar, pero en general se basa en aquél que minimice una "acumulación" del error individual (en cada punto) sobre el conjunto total. En primer lugar, el error (con signo positivo onegativo) de la función  en un solo punto, , se define como:

pero tratamos de medir y minimizar el error en todo el conjunto de la aproximación, . En matemáticas, existen diversas formas de definir el error, sobre todo cuando éste se refiere a un conjunto de puntos (y no sólo a uno), a una función, etc. Dicho error (el error "total" sobre el conjunto de puntos considerado) suele definirse conalguna de las siguientes fórmulas:
Error Máximo: 
Error Medio: 
Error Cuadrático Medio: 
La aproximación mínimo cuadrada se basa en la minimización del error cuadrático medio o, equivalentemente, en la minimización del radicando de dicho error, el llamado error cuadrático, definido como:

Para alcanzar este objetivo, se utiliza el hecho que la función f debe poder describirse como una combinaciónlineal de una base de funciones. Los coeficientes de la combinación lineal serán los parámetros que queremos determinar. Por ejemplo, supongamos que f es una función cuadrática, lo que quiere decir que es una combinación línea
l, , de las funciones ,  

y  (m=3 en este caso), y que queremos determinar los valores de los coeficientes: , de modo que minimicen la suma (S) de los cuadrados de losresiduos:

Esto explica el nombre de mínimos cuadrados. A las funciones que multiplican a los coeficientes buscados, que en este caso son: ,  y , se les conoce con el nombre de funciones base de la aproximación, y pueden ser funciones cualesquiera. Para ese caso general se deduce a continuación la fórmula de la mejor aproximación discreta (e.d. para un conjunto finito de puntos), lineal y...