relatividad

Relatividad Especial
Observaci´n experimental:
o
Cuando afirmamos ”la velocidad de un objeto vale algo”, hay que complementar respecto de qui´n o qu´ sistema de referencia [la velocidad es relativa];
e
e
a menos que el objeto sea un fot´n, la velocidad de la luz es la misma para
o
todos los observadores.

¿viola el sentido com´n? ¿Por qu´?
u
e
Las transformaciones de Galileo soninexactas
x = x − vt

(1)

t =t

(2)

Las ecuaciones de Newton, invariantes bajo transformaciones de Galileo,
= F , tambien son inexactas.

d(mv)
dt

1o Programa:
¿C´mo establecer un nuevo ”diccionario.entre las observaciones de distintos
o
observadores o sistemas de referencia?
¿Cual es la relaci´n entre las coordenadas (x, t) de un evento medido por S
o
con las coordenadas (x , t) del mismo evento medido por S’que se mueve con
velocidad V respecto de S?
2o Programa: ¿Cu´les son las leyes din´micas (2o ley de Newton) coma
a
o
patibles con el 1 programa.
Ejercicio: El Reloj Fot´nico.
o
Dos observadores ven un fot´n rebotar entre 2 espejos enfrentados. S´st´ en
o
e a
1

2
reposo respecto del reloj (es el observador propio) y mide como periodo ∆τ .
El otroobservador ve el reloj moverse hacia la derecha con velocidad V . Demuestre que el periodo que detecta es:
∆t =

∆τ
1−

v2
c2

(3)

El formalismo de la Relatividad Especial.
Introducci´n: Geometria Euclidea.
o
En geometria euclidea el gran invariante es el elemento ∆s2 = ∆x2 + ∆y 2,
es decir, en otras coordenadas tambien cartesianas ∆s2 = ∆x 2 + ∆y 2 .
Notaci´n: (x, y) ≡ (x1 , x2 ).o
o
El diccionario S y S´s: xi = Λij xj ´ xi = Λij xj
e
Los elementos de Λ son aquellos que hacen que ∆x2 + ∆y 2 = ∆x 2 + ∆y 2,
es decir;

∆s2 = δi j (∆xi )(∆xj )

(4)

xi = Λij xj ⇒ ∆xi = Λij ∆xj

(5)

∆s2 = δi j Λij Λjk ∆xj ∆xk = ∆xj ∆xk

(6)

δi j Λij Λjk ←

(7)

pero por
y por lo tanto
luego
Relaciones de Ortogonalidad
Ejercicios:
1) Concluya de la relaci´n deOrtogonalidad que:
o
Λi =
j

cosθ senθ
−senθ cosθ

3
y por lo tanto
x = xcosθ + ysenθ o x = x cosθ − y senθ
y = −xsenθ + ycosθ
y = x senθ + y xosθ
2) Dibuje las curvas.eje x’(eje y’) (desde el sistema {x,y}) Hint: Una curva
¸
en el plano (xy) est´ dada por
a
x = x(λ)y = y(λ)
3) Una curva respecto del sistema O, con coordenadas xi es
xi = xi (λ)
La velocidad de esa curva respectodel par´metro, vector tangente, es
a
vi =

dxi
dλ

Demuestre que si se elije como par´metro el elemento de arco s, entonces el
a
m´dulo del vector tangente es igual a 1.
o
De nuevo a la f´
ısica
Respecto de S, (x, t) un movimiento unidimensional es una curva x = x(t) o
bien x = x(τ ) y t = t(τ )
Un evento (punto en el plano x-t) es un par (t, x). En lo sucesivo c=1 y
esunidimensional,y se miden las distancias en seg-luz. A partir de esto las
dem´s cantidades f´
a
ısicas tienen unidades diferentes a las que hemos manejado hasta ahora; por ejemplo energia y momento se miden en Kg, aceleraci´n
o
en m−1 , la fuerza en Kgm−1 , etc. Dos eventos, salida de un fot´n y llegada
o
de un fot´n a otro punto, tienen coordenadas (t, x) y (t + ∆t, x + ∆x), tales
o
que ∆x = ∆t, esdecir c = ∆x = 1.
∆t
Otro observador S’con cooerdenadas x’y relojes que marcan su tiempo
t’mide como velocidad entre esos eventos c = ∆x = 1. La velocidad de la luz
∆t
no depende del observador.
Por tanto, ∆x = ∆t .

4

El Gran Invariante de la Relatividad
.
Si definimos ∆s2 ≡ ∆t2 − ∆x2 y postulamos ∆s2 = ∆t 2 − ∆x 2 la velocidad
de un fot´n ser´ 1 para ambos observadores, por eso ∆s2es el gran invariante
o
a
el espacio de Minkowski.
¿Cu´l es el ”diccionario”que permite traducir las coordenadas de un evena
to al lenguaje de diferentes observadores? En otras palabras, dadas tus coordenadas (t , x ) de un evento, ¿c´mo hago para calcular mis coordenadas
o
(t, x) de ese mismo evento?
Como la velocidad relativa entre ambos sistemas es constante (S y S’son
inerciales),...