Renglones y espacio de columnas de una matriz

ESPACIO DE RENGLONES Y ESPACIO DE COLUMNAS DE UNA MATRIZ
Espacio nulo y nulidad de una matriz: Sea AϵMmxn y NA=xϵRn:Ax=0 se denomina el espacio nulo de A y νA=dimNA se denomina nulidad de A. Si NAcontiene solo al vector cero, entonces νA=0.
TEOREMA 1: Sea AϵMnxn. Entonces A es invertible si y solo si νA=0.
Imagen de una matriz: Sea AϵMmxn. Entonces la imagen de A, denotada por Im(A), estádada por
ImA=yϵRm: Ax=y para alguna xϵRn
TEOREMA 2: Sea AϵMnxn. Entonces la Im(A) es un subespacio de Rm
Rango de una matriz: Sea AϵMmxn. Entonces el rango de A, denotado por ρA=dimImA .Espacio de renglones y espacio de columnas de una matriz: Si AϵMmxn, sean r1,r2,…,rm los renglones de A y sean c1,c2,…,cn las columnas de A. Entonces se define
RA=espacio de renglones de A=genr1,r2,…,rmY
CA=espacio de columnas de A=genc1,c2,…,cn

TEOREMA 3: Para cualquier matriz A, CA=Im(A). Es decir, la imagen de una matriz es igual al espacio de sus columnas.
TEOREMA 4: Si AϵMmxn, entoncesdimRA=dimCA=dimImA=ρA
TEOREMA 5: Si A es equivalente por renglones a B, entonces
RA=RB, ρA=ρB y νA=νB
TEOREMA 6: El rango de una matriz es igual al número de pivotes en su forma escalonada porrenglones
TEOREMA 7: Sea AϵMmxn. Entonces
ρA+νA=n

TEOREMA 8: Sea AϵMmxn. Entonces A es invertible si y solo si ρA=n
TEOREMA 9: El sistema Ax=b tiene cuando menos una solución si y solo si bϵCA.Esto ocurrirá si y sólo si A y la matriz aumentada (A,b) tienen el mismo rango.
TEOREMA DE RESUMEN: Sea AϵMmxn. Entonces Las siguientes diez afirmaciones son equivalentes (si una se cumple, todas secumplen):
i. A es invertible
ii. La única solución al sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial
iii. El sistema Ax = b tiene una solución única para cada n-vector b
iv. A esequivalente por renglones a la matriz identidad de n x n
v. A se puede expresar como el producto de matrices elementales
vi. La forma escalonada por renglones de A tienen n pivotes
vii. Las...