Repaso Matlab Y Estadistica

Repaso de Matlab y Estad´
aıstica
Tratamiento Digital de la Informaci´n
o

Variable Aleatoria
Generaci´n de variables aleatorias unidimensionales e histograma.
o
Matlab dispone de dos generadores de variables aleatorias fundamentales: la funci´n randn, que genera
o
n´meros reales que siguen una fdp gaussiana de media nula y varianza unidad; y la funci´n rand, que
u
o
genera n´merosreales de acuerdo con una fdp uniforme en el intervalo [0, 1].
u
Un modo muy conveniente de esbozar una fdp asociada a una muestra de valores de una variable aleatoria
es mediante el histograma. Esa t´cnica consiste en dividir el rango de valores que toma la variable
e
aleatoria en intervalos del mismo tama˜o y contar cu´ntos elementos de la muestra caen en cada intervalo.
n
a
La funci´nMatlab que calcula histogramas es hist. Para que el histograma parezca una fdp es conveniente
o
normalizarlo a fin de que tenga ´rea unidad.
a
1. Genere una muestra de 100 n´meros que sigan una fdp gaussiana de media nula y varianza unidad
u
y almac´nelos en la variable N100. Represente gr´ficamente los valores que toma la variable N100.
e
a
>> N100 = randn(100,1);
>> figure(1)
>>plot(N100,zeros(100,1),’*’);
>> figure(2)
>> stem(N100)
Indique la diferencia entre las representaciones de las figuras 1 y 2.
2. Represente gr´ficamente un histograma normalizado (´rea unidad) de 10 intervalos de dicha muesa
a
tra:
>> [binh,binc] = hist(N100,10);
>> c=1/100/(binc(2)-binc(1));
>> figure(3);
>> bar(binc,binh*c,1);
>> shg
3. Represente gr´ficamente la forma de la fdp gaussiana idealcorrespondiente encima del histograma
a
>> hold on
>> t=-4:0.1:4;
1

>> x=1/sqrt(2*pi)*exp(-(t.*t)/2);
>> plot(t,x,’r’);
Indique la diferencia entre las representaciones de las figuras 1, 2 y 3.
4. Repita los pasos anteriores para un tama˜o de muestra de 5000 n´meros y un histograma de 10 y
n
u
100 niveles. Para ello genere la variable N5000 como una muestra de 5000 puntos de unagaussiana
de media nula y varianza unidad.
5. Repita los pasos anteriores sustituyendo la distribuci´n gaussiana por una uniforme en el intervalo
o
[0, 1], generando para ello las variables U100 y U5000.

Transformaci´n de variable aleatoria unidimensional
o
Aplicando transformaciones a las variables aleatorias fundamentales vistas en el apartado anterior, podemos conseguir generar muestras devariables aleatorias que sigan otras fdps.
1. Realice las siguientes transformaciones a la variable N5000:
>> X3 = N5000 + 3;
>> X4 = N5000*0.5 + 3;
Calcule sus histogramas normalizados, repres´ntelos en figuras diferentes y adivine cu´les ser´
e
a
ıan
sus fdp correspondientes. Puede apoyarse en las funciones Matlab mean, std y var que calculan la
media, desviaci´n t´
o ıpica y varianzasmuestrales de las variables.
2. ¿Cu´l es la fdp resultante de aplicar la siguiente transformaci´n a la variable U5000?:
a
o
>> Y3 = U5000*0.5 + 10;
3. ¿Cu´l es la fdp resultante de aplicar la siguiente transformaci´n a la variable U5000?:
a
o
>> Y4 = -2*log(U5000);
Compru´belo anal´
e
ıticamente aplicando transformaci´n de variable aleatoria.
o

Variable aleatoria bidimensionalMediante las funciones rand y randn pueden generarse muestras de variables aleatorias multidimensionales. En el caso randn tenemos una fdp gaussiana de media nula y matriz de covarianzas identidad. En
el caso de rand tenemos una distribuci´n uniforme en la hipercubo [0, 1]n componentes de la variable
o
multidimensional son independientes e id´nticamente distribuidas.
e
1. Genere 1000 muestras deuna variable gaussiana bidimensional de media nula y matriz de covarianzas identidad y represente su scatter plot.
>> NN1000 = randn(1000,2);
figure(4)
plot(NN1000(:,1),NN1000(:,2),’.’);
grid on
axis([-4 4 -4 4]);
axis(’square’);
Compruebe la simetr´ de esta distribuci´n: a lo largo de cada recta que pase por el origen de
ıa
o
coordenadas, tenemos una distribuci´n gaussiana de media...