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GUIA DE CÁLCULO DIFERENCIAL – DERIVADAS

Limites de funciones trigonometricas:

Sean los limites de: [pic]
Ejemplos:

1. [pic][pic]

2. [pic] Solución:
[pic]
[pic]
Resolver los siguientes limites:

1. [pic] 2. [pic] 3. [pic]

Definición de continuidad 
  -Se dice que una función f es continua en a si y solo si secumplen las tres condiciones siguientes:

1. f(a) está definida, (o sea, a pertenece al dominio de f)
2. [pic]existe
3. [pic]
La función f será discontinua en a si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.
Ejemplo
Determinar si la función definida por [pic] es continua en x= 2
Primero [pic] por lo que f está definida en 2
Calculemos [pic][pic] [pic]
(de aquí[pic]3 existe)

Como [pic] entonces f es continua en [pic]

Note que f no está definida ni en [pic], ni en [pic]por lo que f es discontinua en esos puntos.

INTRODUCCION CALCULO DIFERENCIAL
Incremento de una función:

Sea, y = f(x) = x2 b

Si inicialmente “x” toma el valor 2, la variable “Y” (función) toma el valor y= f(2)= 22 = 4, para este valor en particular “x” .Incrementemos la variable “x” en una cantidad, que puede ser 0,1, esto es, hagamos que tome el valor 2.1. La variable “Y” tomará el valor

Y = f(2.1) = (2.1)2 = 4.41 quedando incrementada en 0.41

En general el incremento de la variable x lo llamaremos[pic]que es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,[pic]
Luego para un incremento [pic]= 0.1 hay un incremento de la función [pic]= 0.41.
Veamos como podemos obtener este resultado de otra manera:
Sea y = x2 después de incrementar la variable “x”
Y+ [pic] = f(x+ [pic]) = (x + [pic])2 ya que “y” queda incrementada en [pic]
Despejando [pic] = (x + [pic])2 – x2 y desarrollando el producto notable del segundo miembro[pic][pic] = x2 +2x[pic] + ([pic])2 – x2 simplificando
[pic] = 2x[pic] + ([pic])2 y remplazando por los valore inicialmente tomado se tiene que [pic]= 0.41
En general [pic] = f(x + [pic]) – f(x)
Incremento relativo de una función:
El incremento relativo de una función es, por definición, el cambio que experimenta la función por cada unidad de cambio en la variable independiente “x” eslógicamente el cociente entre el incremento de “y” y el incremento de “x”
Incremento relativo de “y” con respecto de “x” = [pic]
Luego [pic]
Si hallamos el incremento relativo del ejemplo [pic] = 2x[pic] + ([pic])2 tenemos:
[pic]
Derivada de una función
Si al ejemplo anterior encontramos el límite del incremento relativo de la variable “y” con respecto de la variable “x” cuando[pic] tiende a cero, esto es: [pic]
Definición: Dada Y = f(x), se llama derivada de “y” con respecto de “x”, al limite de [pic] cuando [pic] tiende a cero y se representa por
[pic]

Interpretación geométrica de la derivada

Y = f(x) ya sabemos que esto representa una curva en el plano, tomemos sobre la curva el punto P(x,y).
Si incrementamos “x” en [pic] y “y” en [pic] se tendrá un segundopunto [pic]. Tracemos la cuerda PQ. Por P una horizontal y por Q una vertical. Estas dos rectas se cortan en R. de la figura se puede ver que:
[pic] pero la tan[pic] es la pendiente de la cuerda PQ y por consiguiente, el incremento relativo de “y” con respecto a “x” es la pendiente de la cuerda PQ.
Si hacemos [pic] muy pequeño, permaneciendo P fijo, el punto Q se mueve sobre la cuerda de talmanera que se aproxima al punto P y la cuerda PQ tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto P.
[pic][pic]
Figura 1.
{En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente a la curva en el punto en cuestión.}

Fórmulas de derivación

Tabla de derivadas

|Función |Derivada |Ejemplos...
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