Reporte mecánica celeste

Aplicación de la mecánica Espacial a la trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza central

Trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza central:

[pic]Sustituyendo en la expresión para el caso especifico de la mecánica espacial tenemos:
[pic]
donde M=masa de la tierra
m=masa del vehículo (satélite)
r=distancia del centro de la Tierra al vehículou=1/r
h=Cantidad de movimiento angular por unidad de masa

se obtiene de la ecuación diferencial:

[pic]

donde se observa que el miembro del lado derecho es constante.

Para obtener lasolución general de la ecuación diferencial anterior, se suma una solución particular a la solución general de la parte homogénea. Una solución particular evidentemente es [pic]La solución general de laparte homogénea se obtiene igualando a 0 el lado izquierdo de nuestra ecuación original.

[pic] Solución general de la parte homogénea

Su polinomio característico de la ecuación diferenciallineal con coeficientes constantes de grado 2 es:
[pic]
el cual tiene como raíces:
[pic]

Por conocidos teoremas de ecuaciones diferenciales lineales la solución general de la parte homogéneaes [pic] donde c1 y c2 son constantes. De esta forma tendremos, usando la identidad de Euler que:

[pic]

Quedándonos finalmente que:

[pic]

Si se fija el eje polar de manera que θ0=0tendremos que:

1) [pic]

La ecuación anterior corresponde a una sección cónica en coordenadas polares [pic] y θ la cual adopta la forma:

[pic]

Con la cual reconocemos la forma polar de una seccióncónica con el eje polar en uno de sus ejes de simetría. De ella reconocemos a la excentricidad ε como:

[pic]

En el caso especifico de la mecánica espacial, el origen O de las coordenadas seubica en el centro de la Tierra. Por eso la ecuación se puede escribir de la siguiente manera.

[pic]

Teniendo diferentes valores en la excentricidad, obtenemos las diferentes posibles trayectorias...