Resistencia De Materiales , Singer Y Pytel 4Ta Ed

GUIA 6

Osciladores lineales
El prop´sito de este cap´ o ıtulo es estudiar algunas caracter´ ısticas de las soluciones de la ecuaci´n diferencial lineal o dx d2 x + k x = f (t), m 2 +c dt dt en el caso en que m, c y k son constantes positivas y f (t) es una cierta funci´n del tiempo. o Esta ecuaci´n puede tomarse como modelo matem´tico para un oscilador lineal en una o a dimensi´n. o

1.Osciladores mec´nicos a

Un sistema (f´ ısico, biol´gico, social, o un mecanismo artificial) exhibe comportamiento o oscilante o vibratorio cuando: El estado del sistema var´ alrededor de un estado medio de equilibrio. ıa El sistema posee partes que tienen masa o una propiedad an´loga a la de la inercia, por a la cual el sistema permanece en reposo a menos que obre sobre ´l una fuerza externa. eEl sistema posee un mecanismo el´stico con una propiedad de rigidez que ejerce fuerzas a restauradoras tales que, si el sistema es desplazado del estado medio de equilibrio, ellas tienden a devolverlo al equilibrio. Las fuerzas restauradoras no s´lo devuelven al sistema hacia el equilibrio, sino que tieno den a llevarlo m´s all´ del equilibrio en direcci´n opuesta y as´ sucesivamente. Esto haceque a a o ı el sistema oscile. En nuestra discusi´n supondremos que la fuerza restauradora, fr = fr (x), o s´lo depende del desplazamiento x respecto al equilibrio. Supondremos que a mayor desplao zamiento mayor magnitud de la fuerza y que adem´s a  < 0 si x > 0,  fr (x) = 0 si x = 0,   > 0 si x < 0.

Junto a las fuerzas restauradoras tambi´n pueden actuar sobre el sistema fuerzas de friceci´n o de amortiguamiento que finalmente llevan al sistema hacia el reposo. Estas fuerzas o normalmente las ejerce el medio en el que oscila el sistema (agua o aire por ejemplo) o mecanismos como los amortiguadores de un coche. Supondremos que la fuerza de amortiguaci´n o dx o a resultante fa depende de la velocidad v = dt y que a mayor rapidez mayor fricci´n. Adem´s fa act´a en direcci´n opuesta almovimiento, es decir, u o  < 0 si v > 0,  fa (v) = 0 si v = 0,   > 0 si v < 0. 1

Tambi´n consideraremos fuerzas externas de excitaci´n fex (t), que se deben normalmente e o a mecanismos externos no espec´ ıficados (la salida de un circuito amplificador sobre el diafragma de un altoparlante, los vientos sobre una estructura, las sacudidas de una m´quina, a etc.). Estas fuerzas describeninfluencias que son independientes de los mecanismos internos del sistema. Pueden ser deseables como fuentes de energ´ para sostener oscilaciones, o ıa indeseables como causa de resonancia. La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de un cuerpo de masa m que se encuentra sujeto a la influencia de las fuerzas fr , fa y fex conduce a la ecuaci´n o m d2 x = fr (x) + fa dt2 dx dt + fex (t). (1)

Elmodelo (1) presenta dificultades considerables debido a que la naturaleza de la dependencia de la fuerza restauradora respecto a la posici´n y de la fricci´n respecto a la velocidad o o puede ser complicada. En un primer intento podemos abordar el problema aproximando estas fuerzas por sus linealizaciones respectivas. En efecto, si g es una funci´n diferenciable o tenemos g(s) ≃ g(0) + s · g ′ (0). Enotras palabras, cerca de (0, g(0)) podemos aproximar la funci´n g mediante la recta que o es tangente a la gr´fica de g en (0, g(0)). a En el caso de la fuerzas restauradora fr y de amortiguaci´n fa se tiene fr (0) = 0 y o ′ ′ ′ fa (0) = 0. De modo que fr (x) ≈ x fr (0) y fa (v) ≈ v fa (0). Escribiendo k = −fr (0) y ′ c = −fa (0) tenemos fr (x) = −k x fa (v) = −c v (ley de Hooke), (ley deamortiguaci´n viscosa), o

donde c y k representan constantes positivas. La aproximaci´n lineal del modelo (1) est´ dada o a 2x por la ecuaci´n m d 2 + c dx + k x = fex (t), o equivalentemente por o dt dt d2 x c dx k 1 + + x= fex (t). 2 dt m dt m m (2)

Ejemplo 1. Un p´ndulo consiste de una masa m suspendida de una cuerda o una varilla e de masa despreciable y longitud l, que se halla fija en uno...