resistencia de materiales

METODO DE LA SUPERPOSICION
El método de la superposición es una técnica practica de uso común para obtener deflexiones y ángulo de rotación de vigas.
En condiciones adecuadas, la deflexión de una viga producida por varias cargas diferentes que actúan de manera simultanea se puede determinar superponiendo las deflexiones producidas por las mismas cargas al actuar por separado.
La razón parasuperponer deflexiones se basa en la naturaleza de las ecuaciones diferenciales de las curva de deflexión.
Estas son ecuaciones diferenciales lineales, debido a que todos los términos que contiene la deflexión y sus derivadas están elevadas a la primera potencia.
-EJEMPLO:
Considere la viga simple ACB que se muestra. Esta viga soporta dos cargas :1) una carga uniforme con intensidad q que actúasobre todo el claro.
2) una carga concentrad P que actúa a la mitad del claro.
Supongamos que queremos encontrar la deflexión δc en el punto medio y los ángulos de rotación θa y θb en los extremos.
Al utilizar el método de superposición obtenemos los efectos de cada carga al actuar de manera independiente y luego combinamos los resultados
Para la carga uniforme que actúa sola, la deflexiónen ele centro del claro y los ángulos de rotación se obtienen con las formulas:
DONDE:EI: es la rigidez a la flexión de la viga .L: la longitud de la viga.Para la carga P que actúa sola, las cantidades correspondientes se obtienen con las fórmulas:
La deflexión y los ángulos de rotación debido a las cargas combinadas se obtienen sumando sus valores individuales.

CARGAS DISTRIBUIDAS
Enocasiones encontramos una carga distribuida que no es incluida en una tabla de deflexiones de vigas y en estos casos un método de superposición aun resulta útil.
Para esto podemos considerar un elemento de la carga distribuida como si fuera una carga concentrada y luego podemos encontrar la deflexión requerida mediante integración en toda la región de la viga donde se aplica la carga.
-EJEMPLO:Considere una viga simple ACB con una carga triangular que actúa sobre la mitad izquierda.
Queremos obtener la deflexión δc en el punto medio C y el Angulo de rotación θ en el apoyo izquierdo.

-Comencemos por visualizar el elemento q da de la carga distribuida como una carga concentrada.


Sustituimos q dx con P y x con a.El valor de la carga existente.
Por ultimo integramos sobre toda laregión de la carga para obtener la deflexiónLa formula de la flexión se convierte.
Dela misma manera, se puede calcular el ángulo de rotación.Reemplazamos los valores.integramos
En el caso particular de deflexión e vigas, el principio de superposición es valido con las siguientes condiciones:
1) la ley de Hooke es válida para el material.
2) las deflexiones y rotaciones son pequeñas.
3) lapresencia de las deflexiones no altera las acciones de las cargas aplicadas.
Estos requisitos aseguran que las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión sean lineales.
DEFLEXION DE VIGAS POR INTEGRACION
El objeto de procedimiento de integración es expresar la ecuación para la elástica de la viga en términos de las cargas y de las coordenadas x y y.
Se tiene establecido que las deflexionesson pequeñas en comparación con la longitud de la viga, cada pequeño segmento de la elástica puede considerarse aproximadamente como el arco de un circulo que tiene un radio de curvatura p.
La curvatura se define como:

En la pendiente la dy/dx es muy pequeña. Cuando el termino dy/dx se eleva al cuadrado , se hace tan pequeño, en comparación con los otros términos, puede depreciarse.
Con estaaproximación, la ecuación de la elástica de una viga puede escribirse como:

La curvatura de la viga esta relacionada con el momento flexionante de la ecuación y se expresa:

Se puede escribir como:

RELACIONES UTILES
Para una condición de carga dada, una viga adoptara una posición de forma particular.
Cada punto situado sobre la elástica tendrá una deflexión y, y una pendiente dy/dx....