Resolución ec. de calor a través de series de fourier

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Resolución de la ecuación del calor en forma numérica

José Luis Doyhamberry, Diego Espinosa, Catalina Estrada

Universidad Adolfo Ibáñez
Santiago, Chile

Presentado al curso Sistemas Dinámicos II, Junio 2009

El modelamiento físico es fundamental para adquirir conocimientos específicos acerca de comportamientos claves en el funcionamiento de los sistemas. Es en este sector, donde seponen los mayores esfuerzos en la ingeniería moderna, ya que entendiendo el funcionamiento, podemos perfectamente aprovechar las características de los fenómenos naturales, y de esta manera optimizar recursos, o generar procesos y sistemas más sofisticados.  
En nuestro caso, la ecuación del calor es una importante ecuación diferencial parcial que describe la distribución del calor (o variaciones dela temperatura) en una región a lo largo del transcurso del tiempo. Su importancia radica en la predicción de temperaturas de ciertos materiales.
El objetivo del siguiente trabajo es dar una solución palpable a la ecuación del calor en forma numérica. Dada la ecuación que gobierna este tipo de comportamientos en dos dimensiones, se aplicara conocimiento de ecuaciones diferenciales parciales, yordinarias para dar una solución en funciones conocidas al comportamiento de esta ecuación sujeta a distintas condiciones.  
Para esto, la solución del sistema se tratará como una familia de soluciones, donde las variables temporales y de posición están determinadas por funciones, y la solución general para la función que determina el comportamiento de la temperatura con respecto al tiempo seráobtenida como un producto de aquellas funciones. 

Metodología

Dada la siguiente ecuación diferencial parcial de calor de difusión:
[pic]
Con condiciones de borde:

[pic] [pic]
y con condición inicial:
[pic]

Utilizaremos el método de separación de variables para resolver dicha ecuación diferencial parcial.

Definamos a u(x,t) como la siguiente solución producto:

[pic]

Endonde, A(x) es una función que depende únicamente de la posición y B(t) es una función que depende únicamente del tiempo. Luego, debemos sustituir la solución producto en la ecuación diferencial parcial de calor, así que apliquemos las derivadas parciales adecuadas.

[pic]

[pic]

[pic]

Ahora, simplemente las reemplazamos en la ecuación principal.
[pic]

Finalmente, juntamos lasfunciones que dependen de x a un lado y las funciones que dependen de t hacia el otro. Luego ambos lados de esta ecuación se iguala a "-λ" el cual es la constante de separación.

De esta manera, transformamos una ecuación diferencial parcial en 2 ecuaciones diferenciales ordinarias, una de orden 1 (la que depende de t) y otra de orden 2 (que depende de x), la cual posee 2 condiciones de bordes.

[pic][pic]

Empecemos a desarrollar la EC. 1, la cual es una EDO de orden 1.

[pic]

De esta manera integramos, para finalmente obtener B(t):

[pic]
Donde c = constante

Ahora resolvamos la EC. 2, la cual es una EDO de orden 2 con condiciones de borde:
[pic]
[pic]
[pic]
Como queremos buscar soluciones no triviales, nuestras condiciones de bordes son las siguientes:
[pic]
[pic]Resolviendo la EDO, nos damos cuenta que las soluciones son del tipo: [pic]Por lo tanto su resultado dependerá del valor de λ.
Analizamos para los distintos valores de λ.

Para λ > 0
Las soluciones son del tipo de exponenciales complejas, por ende, A(x) será:
[pic]

Mediante el uso de las condiciones de bordes, finalmente llegamos a las siguientes conclusiones:
[pic]
[pic]

Por lotanto,
[pic]

Para λ = 0
[pic] (Ecuación de la recta donde A y B son constantes)

Analizamos A(x) con sus respectivas condiciones de borde.
[pic] Implica [pic] además,
[pic] Implica que [pic], es decir [pic]

Entonces,
[pic] , esto es una solución trivial del problema, por lo tanto decimos que λ = 0
no es una valor propio de la solución.

Para λ < 0
[pic]...
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