Resolucion de problemas

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Resolución de problemas de máximos y mínimos:
En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:
• Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.
• Hacer un dibujo cuando sea necesario.
• Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribiruna ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.
• Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar)
• Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.
• Obtener la primera derivada de estafunción para determinar los valores críticos.
• Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.
• Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema
• Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.
• En algunos problemas hay que utilizar diversasfiguras geométricas por lo que a continuación se especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes:
 
1.
[pic]
Círculo de radio r con centro en [pic]
Ecuación: [pic]
Circunferencia: [pic]
Área: [pic]

2.

Sector circular;
Área: [pic][pic]donde [pic]es el ángulo central medio en radianes.

Área: [pic]donde s es la longitud del arco AB

3.Trapecio

Área: [pic], donde B es la longitud de la base mayor, b es la de la base menor y h es la altura del trapecio.

 
4.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ver en ambiente 3D
Cilindro circular recto de altura h y radio de la base r.
Volumen: [pic]
Área lateral: [pic]
Área total: [pic]

5.
[pic]
Ver en ambiente 3D
Cono circular recto de altura h y radio de la base r.
Volumen:[pic]
Superficie lateral: [pic]. L donde L es la generatriz está dada por:
[pic]

6.
[pic]
Ver en ambiente 3D
Esfera de radio r.
Volumen: [pic]

Superficie: [pic]

 
c.
Ejemplos:

1.
Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible.

Solución:

Se debe de maximizar el producto P de dos númerospositivos.

Sean estos números: x, y

Luego [pic]

Como la suma de esos números es 10, entonces [pic]es la ecuación auxiliar, de donde [pic].

Entonces: [pic]

Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función [pic]

Derivando: [pic]

Valores críticos: [pic]

En [pic]se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es unvalor mínimo o un valor máximo.

Como [pic]entonces [pic]por lo que en [pic]se tiene un valor máximo.

Si [pic]entonces [pic]. Luego, los números positivos cuyo producto es máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5.

2.
Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

Solución:Se debe maximizar el área A de un rectángulo:

[pic]
Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectángulo.
Luego [pic]

Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es: [pic]de donde [pic].

Luego [pic]

Como [pic]y [pic]entonces [pic]es un valor crítico.

Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando elcriterio de la segunda derivada.

Como [pic]y [pic], entonces [pic]es un valor máximo.

Si [pic]entonces [pic]por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área y perímetro 120m.

3.
Una recta variable que pasa por el punto [pic]corta al eje X en [pic]y al eje Y en [pic]. Hallar el área del triángulo [pic]de superficie mínima, suponiendo A y B positivos....
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