Resolucion de sistemas lineales

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

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r=A+lu A

d B s=B+mv

Resoluci´n de o Sistemas Lineales

CIENCIAS

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla de Contenido
1. Introducci´n o 2. Resoluci´n de un sistema o 2.1. M´todo de la inversa. e 2.2. Regla de Cramer 3. Teorema deRouche-Frobenius Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

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Secci´n 1: Introducci´n o o

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r=A+lu A

1. Introducci´n o En el cap´ ıtulo Sistemas se vio el m´todo de Gauss para resolver un sistema e lineal. Si bien el m´todo de Gauss o eliminaci´n gaussiana nos permite dise ocutir y resolver por reducci´n, es deseable obtener una expresi´n algebraica o o que nos permita expresar las soluciones de un sistema que tenga soluci´n o (compatible) en funci´n de los coeficientes y los t´rminos independientes. o e El determinante nos ofrece una expresi´n de la inversa de una matriz o cuadrada y de aqu´ obtendremos la regla de Cramer. ı Finalizamos con el teorema deRouche-Frobeni¨s que nos proporciona un u resultado gen´rico de cuando un sistema tiene soluci´n y en este caso, cuando e o es unica o tiene infinitas. ´

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Secci´n 2: Resoluci´n de un sistema o o

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2. Resoluci´n de un sistema o 2.1. M´todo de la inversa. e La matriz inversa es util como notaci´npara expresar la soluci´n de un ´ o o sistema de ecuaciones lineales. Sea por ejemplo un sistema de tres ecuaciones con tres inc´gnitas: o  a11 x + a11 y + a13 z = b1  a21 x + a22 y + a23 z = b2  a31 x + a32 y + a33 z = b3 Expresado en forma matricial queda:       a11 a11 a13 x b1  a21 a22 a23  ·  y  =  b2  ≡ A · x = b a31 a32 a33 z b3 Si A es regular y tiene inversa A−1 ,multiplicando la ecuaci´n anterior por la o izquierda, se tiene que, A−1 · A · x = A−1 · b y

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x = A−1 · b

(1)

Secci´n 2: Resoluci´n de un sistema o o

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Ejemplo 2.1. Resolver el sistema calculando la inversa  3x − 2y − z = −4  −4x + y − z = −5  2x + z= 5 Soluci´n: o Expresamos elsistema en forma matricial,       3 −2 −1 x −4  −4 1 −1  ·  y  =  −5  ≡ A · x = b 2 0 1 z 5 Como Det(A) = 1 = 0, existe la inversa de A :   1 2 3 5 7  A−1 =  2 −2 −4 −5 luego         1 2 3 x −4 1 y =  2 5 7  ·  −5  =  2  −2 −4 −5 z 5 3

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Secci´n 2: Resoluci´n de un sistema o o

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2.2. Regla de Cramer Si sustituimos en la ecuaci´n (1), A−1 por su expresi´n mediante la matriz o o adjunta se obtiene     b  x1 A11 A21 A31 · · · An1 1  x2  1  A12 A22 A32 · · · An2   b2       .   . =  ..  .  |A|  · · · . ··· ··· ···   .  . . A1n A2n A3n · · · Ann xn bn y para todo i, xi = b1 A1i + b1 A2i + · · · + bn Ani |A| que se puedeexpresar como el determinante de la matriz A cambiando la columna i−´sima por los t´rminos independientes, es decir e e

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xi =

a11 a21 ··· an1

a12 a22 ··· an2

a13 a23 ··· an3

··· ··· .. . ··· |A|

b1 b2 bi bn

··· ··· ··· ···

a1n a2n ··· ann

1≤i≤n

(2)

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Ejemplo 2.2. Resolver por la regla de Cramer el sistema 2x + y = 3 x−y =0 Soluci´n: La regla de Cramer nos da: o 3 1 0 −1 2 1 1 −1 −3 =1 = −3 2 3 1 0 2 1 1 −1 −3 =1 −3

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x=

y=

=

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Ejemplo 2.3. Resolver por la regla de Cramer el sistema  3x − y + z = 7  x + 3y − 2z = 0  2x + 2y − z = 2 Soluci´n: En primer...
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