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Disculpe pero los ejercicios a partir del numero 7 se cortan en formato pdf por su gran extension. Por su comprension gracias. 1. Hallar la ecuacion de la recta tangente de t = 1 a la curva engendrada por x = e1 + t2 e2 + t3 e3 x = te1 + t2 e2 + t3 e3 t=1 dx = e1 + 2te2 + 3t2 e3 x = t,t2 ,t3 dt dx 2 en t = 1 dt = 1,2t,3t x = x0 + tx0 x = (x0 ,y0 ,z0 ) t (x1 ,y1 ,z1 ) x = (x,y,z)
TX0 ;

X =(1,1,1) + t (1,2,3) x=1+t!t=x 1 y = 1 + 2t ! t = y 2 1 z = 1 + 3t ! t = z 3 1 1 = y21 = z31

por lo tanto x

2. Si u = 3t2 + 1 e1 + sente2 ; v = (cos t) e1 + et e3 ; du v ; d(u v) dt dx u = 3t2 + 1 e1 + sente2 , u = 3t2 + 1; sent v = (cos t) e1 + et e3 , v = (cos t; et ) 2 t ) u v = 3t cos t + cos t + e sent d(u v) = 3t2 sent + 6t cos t sent + et cos t + e3 sent dt e1 e2 e3 u v = 3t2 + 1 sent 0 =et sent; 3t2 et et ; sent cos t cos t 0 et d(u v) t t = e cos t + e sent; 3t2 et 7tet ; sen2 t cos2 t dt 1 i2 h 2 juj = 3t2 + 1 + sen2 t 1 i 2 h 2 1 ) djuj = 2 3t2 + 1 + sen2 t 6t2 + 2 (6t) + 2sent cos t dt =
36t3 +12t+2sent cos t p 2 (3t2 +1)2 +sen2 t

de

du d

3.-Si u = sin te1 + 2t2 + te3 y v = (cos t)e1 + et t > 0 hallar la derivada e2 e3 a) Como función de b) Como función de t u =sin te1 + 2t2 + te3 y v = (cos t)e1 + et ; e2 e3 u = (sin t; 2t2 ; t) du d = (cos t; 4t; 1) u( ) = sin(log ); 2 log2 ; log 1 du cos(log ); 4 log ; 1 d = t = log

1

4.- Si la helice es x = cos te1 + sin te2 + te3 , hallar el vector tangente, el vector curvatura, el vector normal, asi como su respectivos rectas y planos. x = cos te1 + sin te2 + te3 x = ( sin t; cos t; 1) 1 p jxj = sin2 + cos2 t+ 1 2 = 2 p vector tangente unitario : 22 ( sin t; cos t; 1) = uT p normal duT = 22 ( cos t; sin t; 0) dt = 1 (cos2 + sin2 t) 2 vector normal unitario uN = ( cos t; sin t; 0)
duT dt
1 2

=

1 p 2

uB = uT
p

uN
p p

p p p sin t 22 cos t 22 = ( 22 sin t; 22 cos t; 22 ) cos t sin t 0 recta tangente: lT ; x = x0 +p T `u p p (x; y; z) = (x0 ; y0 ; z0 ) + `( 22 sin t; 22 cos t; 22 ) p p p2 2 2 x = x0 2 ` sin t; y = y0 + ` 2 cos t; x = z0 + 2

uB

2 2

0 = y yt = z = z0 cos p p plano recti…cante (x; y; z) = (x0 ; y0 ; z0 )+ 22 `( sin t; cos t; 1)+ 22 r(sin t; cos t; 1) p p 2 2 x = x0 2 ` sin t + p r sin t 2 p 2 y = y0 + 22 ` cos t 2 r cos t p p p p z = z0 + 22 ` + 22 r =) 22 ` = 2(z z0 ) r p p x x0 = 2(z z0 ) r sin t + 22 r sin t p p 2 y y0 = 2(z z0 ) r cos t r cos t p p 2 p3 x x0 = (z z0 ) 2 sin t + 2 2r sin t ! (x x0 ) + (z z0 ) 2 sin t = p 3 2 2r sin t p p p y y0 = (z z0 ) 2 cos t 3 2r cos t ! (y y0 ) (z z0 ) 2 cos t = 2 p 3 2 2r cos t p p p (y y0 ) x x0 2 0 2 cos t ! 32 ( x xt0 )+ 3 (z z0 ) = 32 ( y yt ) 2 (z z0 ) sin t +4(z z0 ) = sin p cos 3 plano escalador: (x; y; z) = (x0 ; y0 ; z0 )+ 22 `( sin t; cos t; 1)+r( cos t; sin t; 0) p 2 x = x0 r cos t 2 ` sin t p2 y = y0 + 2 ` cos t r sin t

x 0 = 2(z z0 ) =) x0 t = y yt = z 1 sin cos =) (x; y; z) + `( cos t; sin t; 0) x = x0 ` cos t; y = y0 ` sin t ; z = z0 x ` = x0 t ; ` = ysinyt0 ; ` = z = z0 cos y y0 x0 x cos t = sin t = z = z0 1 lB : (x:y:z) = (x0 ; y0 ; z0 ) + p2 `(sin t; cos t; 1) 1 1 1 x = x0 + p2 ` sin t; y = y0 p2 ` cos t; z = z0 + p2 ` x0 x sin t

2(x0 x) = sin t lN ; x = x0

p

p2(y y0 ) cos t `uN

p

z0

2

z = z0 + 22 ` p ` 22 = z z0 p p ` = 2(z 2z0 ) = ` = 2(z z0 ) p p 2 =) x = x0 2(z z0 ) sin t r cos t 2 p p 2 =) y = y0 + 2 2(z z0 ) cos t r sin t r = x0 x+(z tz0 ) sin t cos =) y = y0 + (z z0 ) cos t (x0 x) tan t (z z0 ) tan t sin t (x0 x) tan t + (y y0 ) + (z z0 ) cos t (z z0 ) tan t sin t = 0 (x0 x) tan t + (y y0 ) + (z z0 )(cos t sin t tan t) = 0 plano normalp (x; y; z) = (x0 ; y0 ; z0 ) + `( cos t; sin t; 0) + 22 r(sin t; cos t; 1) p x = x0 ` cos t + 22 r sin t p 2 y = y0 ` sin t 2 r cos t p p p z = z0 + 22 r =) r = 22 (z z0 ) = 2(z z0 ) x = x0 ` cos t + (z z0 ) sin t =) ` cos t = (x0 x) + (z z0 ) sin t =) ` =
(x0 x)+(z z0 ) sin t cos t y = y0 ` sin t

p

(z z0 ) cos t y = y0 h sin t (z z0 ) cos t ` i (x0 x)+(z z0 ) sin t y = y0 sin t (z z0 )...
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