Resonancia Paramagnetica Electronica

Las cargas eléctricas no se crean ni se destruyen; todas las cargas, ya estén
en reposo o en movimiento, deben considerarse en todo momento. Considere un
volumen arbitrario limitado por una superficie S. Dentro de la región existe una
carga neta Q. La corriente I que sale de la región, es el flujo total de salida del
vector de densidad de corriente a través de la superficie S. Se tiene:
˛
I=S

J • ds

(1)

El movimiento de la carga q con frecuencia ω , es equivalente a una corriente
circulante por el lazo. En base a esto, se puede definir una densidad lineal de carga
promedio:
q
2π R0
La densidad de corriente se puede escribir como:
λ0 =

=
=
=
=

ρ (r) v
λ0 δ (R − R0 ) δ (z − z0 )
ω ×r
ˆ
ω z × RR + zz
ˆ
ˆ
ˆ
v = ωR φ
ˆ
⇒ J = λ0 ω R δ (R − R0 ) δ (z − z0) φ

J
ρ (r)
v
v

(2)

(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)

El diferencial de área es:
ˆ
d s = dsφ φ

(9)

ˆ
d s = dR dz φ
Sustituyendo J y d s en (1) se tiene:
ˆ R0 ˆ +∞
ˆ
ˆ
I=
λ0 ω R δ (R − R0 ) δ (z − z0 ) φ • dR dz φ
0
−∞
ˆ R0
ˆ +∞
I = λ0 ω
R δ (R − R0 ) dR
δ (z − z0 ) dz

(10)

(11)
(12)

−∞

0

I = λ0 ω R0

(13)
1

La corriente resultante de mover unacarga q en una trayectoria circular (órbita
de Bohr) con frecuencia ω es:
qω
I=
(14)
2π
En la teoría electromagnética elemental, una espira de corriente como ésta
produce un campo magnético que para distancias grandes es el mismo que el de
un dipolo magnético localizado en el centro de la espira y orientado perpendicularmente al plano de ella. En mecánica cuántica, el espín de diferentespartículas
también genera un campo que se aproxima bien por un dipolo magnético. En partículas subatómicas, como los electrones o los núcleos atómicos, este hecho es
importante para los experimentos de resonancia paramagnética electrónica y de
resonancia magnética nuclear.
El momento dipolar magnético para la espira de corriente se puede obtener
con la ecuación:
I
µ=
2

˛
C

r × dr(15)

Se calcula el producto r × d r :
ˆ
r = RR + zz
ˆ
ˆ
dr = R dφ φ
ˆ
ˆ
⇒ r × d r = RR + zz × R d φ φ
ˆ
ˆ
r × d r = R2 d φ z − zR d φ R
ˆ

(16)
(17)
(18)
(19)

Se sustituye en (14):
ˆ 2π
ˆ 2π
I
2
ˆ
Rz
ˆ
d φ − zR
R dφ
µ=
2
0
0
ˆ 2π
I
ˆ
µ=
2π R2 z − zR
ˆ
R dφ
2
0
ˆ
IzR 2π ˆ
2
µ = Iπ R z −
ˆ
R dφ
20
ˆ
Para resolver la segunda integral se escribe Ren función de φ :

2

(20)
(21)
(22)

ˆ
ˆ
R = R(φ )
ˆ
R = cos φ x + sen φ y
ˆ
ˆ
ˆ
IzR 2π
(cos φ x + sen φ y) d φ
ˆ
ˆ
⇒ µ = Iπ R z −
ˆ
20
ˆ 2π
ˆ 2π
IzR
2
sen φ d φ
µ = Iπ R z −
ˆ
cos φ d φ + y
ˆ
x
ˆ
2
0
0
2

µ = I π R2 z
ˆ

(23)
(24)

(25)
(26)
(27)

Para una espira plana, el momento magnético tiene por módulo el producto de
la corriente por elárea de la porción plana delimitada por la espira, y por sentido
el normal a la superficie, según la regla de la mano derecha.
µ = IS

(28)

Regresando a la ecuación (26), si se sustituye I por la relación (14) se obtiene:
qπ R2 ω
z
ˆ
2π

⇒µ =

(29)

qR2 ω
z
ˆ
2

µ=

(30)

Y la magnitud de µ es:

µ=

qR2 ω
2

(31)

El momento angular de la carga es el productovectorial de su vector posición
por su vector de cantidad de movimiento:
ˆ
L=
r × P d3r
(32)
D∞
ˆ
L=
r × ρm v d 3 r
(33)
D∞
ˆ
⇒L =
d 3 r ρm (r × v)
(34)
D∞

3

Para la espira de corriente:

ˆ

L=

D∞

dr d 2 r

ˆ
L=

C

dr

ˆ
L=

C

dm
(r × v)
d3r

dm
(r × v)
dr

(35)
(36)

dr λm (r × v)

(37)

Si se considera una densidad de masa uniforme:
ˆ
⇒L = λm

C

(r × v) dr

(38)

Se calcula el producto r × v:
ˆ
ˆ
R R + zz × ω R φ
ˆ
ˆ
r × v = ω R2 z − z ω R R
ˆ
ˆ
r × v = ω R Rz − zR
ˆ

r×v =

(39)
(40)
(41)

Sustituyendo en (38):
ˆ

2π

ˆ
ω R2 Rz − zR d φ
ˆ
0
ˆ 2π
ˆ
2
L = λm ω R Rz
ˆ
dφ − z

L = λm

0

(42)
2π

ˆ
R(φ ) d φ

(43)

0

L = 2πλm ω R3 z
ˆ

(44)

2π m ω R3
z
ˆ
2π R...