Resonancias

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    La energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, como resultado de la fuerza disipativa. Es posible compensar esta pérdida de energía aplicando una fuerza externa que suministre la energía disipada realizando un trabajo positivo sobre el sistema. En cualquier instante, es posible agregar energía al sistema por medio de una fuerza aplicada que actúe en la dirección delmovimiento del oscilador.
    Vamos a estudiar el oscilador forzado, el cual está sometido a una fuerza restauradora y a una fuerza externa (fuerza impulsora) que varía armónicamente con el tiempo cuya expresión obedece a una del tipo:

en donde Fo es constante y
    Fo cos t obedece entonces a la ecuación del movimiento dada por

o sea
   
en donde hemos puesto y
    Lasolución de la ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La parte transitoria de la solución es idéntica a la de un oscilador amortiguado no forzado dada por
|
    Las constantes de esta solución, A y , dependen de las condiciones iniciales. Transcurrido cierto tiempo, esta parte de la solución se hace despreciable porque la amplitud disminuye exponencialmentecon el tiempo. De este modo sólo queda la solución estacionaria, que no depende de las condiciones iniciales y que se puede escribir como

en donde la frecuencia angular es la misma que la de la fuerza impulsora.
    La amplitud A viene dada por
|
y la constante de fase por
|
    Observando las ecuaciones podemos ver que el desplazamiento del sistema y la fuerza impulsora oscilan conla misma frecuencia pero difieren en fase en .
    El signo negativo de la fase se ha introducido para que la constante de fase sea positiva.
            - Resonancia
    La amplitud y, por tanto, la energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia.
    Se define la frecuencia natural de un oscilador como la quetendría si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor. 
    El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia impulsora es igual (o aproximadamente igual) a la frecuencia natural del sistema, es decir, = o. En esta situación   = /2.
En esta imagen se observa una gráfica que representa la amplitud frente a la frecuencia de un oscilador amortiguado cuando seencuentra presente una fuerza impulsora periódica. Cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural, o, aparece la resonancia. Se observa que la forma de la curva de resonancia depende del valor del coeficiente de amortiguamiento, b.
 
    
La cantidad media de energía absorbida en un ciclo es igual a la potencia media producida por la fuerza impulsora. En la figura semuestra un diagrama de la potencia media transmitida a un oscilador en función de la frecuencia de la fuerza impulsora o externa para dos valores diferentes de amortiguamiento (y por tanto de Q). 

Estas curvas reciben el nombre de curvas de resonancia. Cuando el amortiguamiento es pequeño (el valor de Q es alto), la potencia consumida en la resonancia es mayor y la resonancia es más aguda; esdecir, la curva de resonancia es más estrecha, lo que quiere decir que la potencia suministrada es grande sólo cerca de la frecuencia de resonancia. Cuando el amortiguamiento es grande (el valor de Q es pequeño), la curva de resonancia es más achatada y la potencia suministrada toma valores más para diferentes de la de resonancia. 
    Para amortiguamientos relativamente pequeños, el cociente entrela frecuencia de resonancia o y la anchura total a la mitad del máximo es igual al factor Q (que ya se definió en oscilaciones amortiguadas):

    Por tanto, el factor Q nos indica directamente si la resonancia es aguda o no y en qué medida lo es.
    En resumen, cuando se está en resonancia:
* la amplitud del oscilador es máxima;
* la energía absorbida por el oscilador es máxima;...
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