Respuesta En El Dominio

Sistemas de Control
Respuesta en el tiempo

Jorge Enrique Lavín Delgado
Universidad La Salle

Jueves 08 de Septiembre de 2011

Jorge E. Lavín D. (ULSA)

Respuesta en el tiempo

08/Septimbre/2011

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Introducción
El primer paso para analizar un sistema de control es obtener su modelo matemático. my + βy + ky = f ¨ ˙

(1)

k m
y

f

β

Una vez obtenido tal modelo,existen varios métodos para el análisis del comportamiento del sistema.
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Introducción
En la práctica, la señal de entrada para un sistema de control no se conoce en general. Por tal motivo, se utilizan señales de prueba para conocer de alguna manera el comportamiento del sistema. El uso de señales de prueba se justi…canporque existe una relación entre las señales dichas señales y las señales de entrada reales. Señales de prueba típicas. Las señales de prueba que se utilizan regularmente son:
1 2 3 4

escalón rampa impulso parábola, etc

Con estas señales es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control dado que son funciones del tiempo muy simples.
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Sistemas de primer orden
Considere el sistema de primer orden mostrado
R (s )
+
−

1 Ts

C (s )

Para obtener la respuesta deben seguirse los pasos siguientes:
1

Obtener la función de transferencia en lazo cerrado: G (s ) C (s ) = R (s ) 1 + G (s ) H (s ) (2)

2

Despejar C (s ): C (s ) = G (s ) R (s ) 1 + G (s ) H(s ) (3)

3 4

Realizar una expasión en fracciones parciales. Calcular la transformada inversa de Laplace de C (s ): c (t ) = L
1

[C (s )]
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(4)
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Respuesta al escalón unitario
Regresando al caso considerado, la función de transferencia en lazo cerrado está dada por: C (s ) G (s ) 1 = = R (s ) 1 + G (s ) H(s ) Ts + 1
R (s )
+

(5)

−

1 Ts

C (s )

Considerando una entrada escalón unitario [r (t ) = 1] resulta C (s ) = 1 s (Ts + 1) 1 s + 1/T
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Desarrollando en fracciones parciales: C (s ) =
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1 s

Respuesta en el tiempo

Respuesta al escalón unitario
Tomando la transformada inversa de Laplace: c (t ) = L
1

[C (s )] = 1

et /T

(6)

Esta expresión indica que la salida c (t ) es inicialmente cero y al …nal se vuelve unitaria.

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Respuesta al escalón unitario
Una característica importante de esta curva de respuesta c (t ) es que para t = T su valor es de 0.632: c (t ) = 1 e
1

= 0.632

Esto signi…ca que la respuestaalcanzó 63.2% de su valor total. A T se le conoce como constante de tiempo. Note que entre más pequeña se T más rápida es la respuesta del sistema. Otra característica importante es que la pendiente de la línea tangente en t = 0 es 1/T : dc dt

=
t =0

1 e T

t /T t =0

=

1 T

(7)

La salida alcanzará el valor …nal en t = T si mantuviera su velocidad inicial.
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Respuesta al escalón unitario

A partir de la ecuación (7) se observa que la pendiente de la curva de respuesta disminuye de 1/T en t = 0 a cero en t = ∞. dc 1 = e t /T dt T Otras especi…caciones de la respuesta transitoria son:
1 2

Tiempo de levantamiento (tr ). Tiempo se asentamiento (ts ).
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Respuesta al escalón unitario
Tiempo de levantamiento (tr ). Se de…ne como el tiempo necesario para que la respuesta pase de 0.1 a 0.9 de su valor …nal. Todo tiempo de levantamiento se obtiene al despejar la diferencia de tiempode la ecuación (6): c (t ) = 1 e
t /T

De esta manera el tiempo de levantamiento está dado por: tr = 2.2T (8)

Tiempo de...