Respuesta temporal

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1 Análisis de la Respuesta Temporal
A partir de la representación matemática de un sistema se puede realizar un análisis teórico de la respuesta temporal del mismo ante diferentes tipos de perturbaciones. El estudio de dicha respuesta temporal es de vital importancia para el posterior análisis de su comportamiento y el posible diseño de un sistema de control. En este capítulo se realizará elestudio detallado de la respuesta temporal de un sistema, el cual se fundamentará en el conocimiento previo que se tiene del mismo, o lo que es lo mismo en el modelo del sistema, tal como se mencionó anteriormente. En principio, se define la respuesta temporal de un sistema como el comportamiento en el tiempo que tiene el mismo ante alguna variación en sus entradas. En la Fig. 1.1 se puede apreciar larespuesta temporal de un sistema, ante una entrada particular, la cual está compuesta por una respuesta transitoria y una permanente. Así mismo, se puede expresar dicha respuesta según la Ec. 1.1, donde yt (t) y yss (t) son la respuesta transitoria y la permanente, respectivamente.
1.4

1.2

1

Amplitud

0.8

0.6

Respuesta Transitoria

Respuesta Permanente

0.4

0.2

0

00.5

1 Tiempo(s)

1.5

2

2.5

Figura 1.1: Respuesta Temporal y (t) = yt (t) + yss (t) (1.1)

El análisis de la respuesta temporal se realizará, para diferentes tipos de sistemas y diferentes tipos de entrada, separando la respuesta en transitoria y permanente. Es por ello que a continuación se describen una serie de funciones que serán utilizadas para representar señales deentradas típicas.

1.1. Señales de Entradas
En el análisis de un sistema de control es necesario conocer su comportamiento ante diferentes tipos de entradas o perturbaciones, por lo que se estudiarán, en esta sección, una serie de señales que comúnmente ocurren en la vida real, tales como el impulso, el escalón, la rampa y la parábola. El impulso es una entrada cuya duración en el tiempo esinstantánea, en tanto que el escalón es una entrada cuya magnitud es aplicada en forma constante a lo largo del tiempo. La rampa es una entrada cuya amplitud varía

1

1 Análisis de la Respuesta Temporal linealmente a lo largo del tiempo y la parábola es aquella cuya amplitud varía cuadráticamente a lo largo del tiempo. En la Tabla 1.1 se muestra la expresión matemática de cada una de ellas y sutransformada de Laplace, en tanto que en la Fig. 1.2 se muestra la representación gráfica de dichas entradas.
Impulso Escalón Rampa Parábola

r (t) = Aδ (t) r (t) = Mt r (t) = Mt r (t) =
Mt 2 2

R(s) = A R(s) = R(s) = R(s) =
M s M s2 M s3

Cuadro 1.1: Diferentes Entradas

(a) Impulso

(b) Escalón

(c) Rampa

(d) Parábola

Figura 1.2: Diferentes Tipos de Entradas

1.2. Clasicación delos Sistemas
Tal como se mencionó previamente los sistemas tienen características particulares que los diferencian y permiten su clasificación. Dicha clasificación se realizará según su orden y según su tipo, siendo el orden del sistema coincidente con el número de variables de estado que se necesitan para describirlo y con el grado del denominador de su función de transferencia, en tanto que, eltipo de un sistema coincide con el número de soluciones en el origen que presenta el denominador de su función de transferencia, o lo que será llamada en adelante la ecuación característica del sistema. En forma general una función de transferencia puede escribirse tal como se muestra en la Ec. 1.2, donde las soluciones del numerador se conocerán como los ceros del sistema y las soluciones deldenominador como los polos o raíces de la ecuación característica, tal como se mencionó con anterioridad. A partir de allí, sT representa un polo de multiplicidad T en el origen, el cual coincide con el tipo del sistema. k (τa s + 1) (τb s + 1) . . . (τm s + 1) G (s) = T (1.2) s (τ1 s + 1) (τ2 s + 1) . . . (τ p s + 1) A continuación se muestra el estudio detallado de la respuesta transitoria para...
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