Respuesta transitoria y estacionaria

(
Análisis de la Respuesta Transitoria y Estacionaria
Resumen— En este informe se presenta los resultados obtenidos del análisis de las diferentes respuestas de diversos sistemas a las señales aperiódicas (tales como las funciones, escalón, rampa, parábola e impulso). Luego se realizan comparaciones con los resultados obtenidos matemáticamente con los arrojados por la herramienta MATLAB.Palabras Claves—Funciones escalón, parábola, rampa, impulse.

INTRODUCCIÓN

E
N la realidad, la señal de entrada para un sistema de control no se conoce con anticipación, es de naturaleza aleatoria, y la entrada instantánea no puede expresarse en forma analítica.

Para el análisis y diseño de un sistema de control se debe tener una base de comparación del desempeño que se configuracomparando las respuestas del sistema con diversas señales de entrada de prueba particulares.
El uso de señales de prueba se justifica porque existe una similitud entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales.
Las señales de prueba que se usan regularmente para obtener análisismatemáticos y experimentales de un sistema de control mucho mas simples son las funciones escalón, rampa, parábola e impulso.
Uno de los aspectos que proporciona mucha información acerca del comportamiento de los sistemas es la respuesta o su comportamiento en el tiempo. Esta consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por respuesta transitoria se entiende queva del estado inicial al estado final y por respuesta en estado estable a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito[1].

Diseño de un sistema de primer orden

El equipo asignado por la corporación SOLUTRONICA LTDA es el integrador de Miller mostrado en la Fig.1


[pic]
Fig. 1. Integrador de Miller.
Para obtener la función de transferencia sehallan las ecuaciones que caracteriza este sistema. Estas son presentadas a continuación:
[pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
[pic] (4)
[pic] (5)
[pic] (6)


Hay que tener en cuenta que la ganancia a lazo abierto A mostrada en (2) es muy grande por lo tanto el voltaje [pic]y [pic] son el mismo.
Se reemplaza (6) en (3) de la siguientemanera:


[pic]


[pic] (7)
Diseñando un integrador de Miller suponiendo que R3 = 2R4 con una R4 de 10kΩ, es decir R3=20kΩ, con una constante de tiempo T=1s y una resistencia de entrada R=100kΩ podemos obtener la siguiente función de transferencia.
[pic]
[pic] (8)
[pic] (9)


Para que la función de transferencia de primer orden de este caso(8) tenga la forma general mostrada en (9) se debe cumplir que [pic]por tanto la capacitancia debe ser:
[pic]
Por lo tanto la función de transferencia de este sistema es igual a:
[pic]
[pic] (10)
Para poder observar el comportamiento del sistema a continuación se analiza la respuesta de este a distintas entradas.

1 Respuesta al Escalón unitario

Para obtener larespuesta de este sistema a una entrada de escalón unitario hay que tener en cuenta que este, en el dominio de Laplace, es representado como:
[pic] (11)
Por tanto la respuesta estaría dada por:


[pic]
[pic] (12)
Para poder hallar el error en estado estacionario para este sistema con una entrada de escalón unitario se procede de la siguiente forma:
[pic](13)
[pic]
[pic]
[pic] (14)
Si reemplazamos (11) en (14) tenemos que:
[pic] (15)
La ecuación del error esta dada por:
[pic] (16)
Para obtener el error tenemos que reemplazar (15) en (16) de la siguiente manera:
[pic]

2 Respuesta a la Rampa

Para este caso la entrada tiene un valor de:
[pic] (17)
Entonces la respuesta a...