Resumen Calculo Varias Variables

  “Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad.” Albert Einstein


Primer ensayo análisis vectorial, Unidad 1 y 2.

En este primer ensayo pretendo sintetizar de forma clara y entendible los temas de las unidades 1 y 2 del curso de Análisis vectorial, dichas unidades están divididas en sub temas que iré explicando detalladamenteacompañados cada uno con su respectivo ejemplo ilustrativo para que sea de mejor comprensión.
De igual manera pretendo focalizar los puntos importantes alrededor del tema de funciones de varias variables; para poder identificarlas y aprender a aplicarlas en las problemáticas de día a día.
La primer parte de este ensayo está conformada por las Funciones de Variables Variables, explico su definición ysus características como lo son el dominio y rango de dichas funciones, y por supuesto tocaré el tema del análisis visual de estas funciones (graficas); la segunda parte del ensayo también trabajare con funciones de varias variables pero ahora enfocándonos al cálculo de las derivadas de dichas funciones , explicare el proceso de como efectuar una derivada parcial y posteriormente tocaré el tema dela aplicación de dicha derivadas, que es a lo que se le llama Diferencial e Incrementos.

Empecemos la primer parte, definiendo lo que es una Función de Varias Variables, la definición según el libro de Calculo 2 por Ron Larson y Bruce Edwards es citada a continuación:
“Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado
(x, y) de D le corresponde un único númeroreal f (x, y), entonces se dice que f es
una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente conjunto de valores f(x, y) es el rango de f.
En la función dada por Z= F(x,y) “x” y “y” son las variables independientes y “z “ es la
Variable dependiente.”

Entonces nos estamos enfrentando a un caso muy parecido a lo que pasa con las funciones de una solavariable, por lo tanto las podemos representar por medio de una ecuación y se dice que el dominio de dicha función esta formado por el conjunto de todos los puntos para donde la ecuación está definida.

Ejemplo de un dominio de una función de varias variables.

Ahora hablaré de la representación gráfica de las funciones de varias variables, citando a Larson nuevamente
“Como en el caso de lasfunciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del
Comportamiento de una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráfica de una
Función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos para los que z=F(x,y)
y (x,y) está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio.”

Ejemplo de una superficie en el espacio:Para dibujar a mano una superficie en el espacio, es útil usar trazas en planos paralelos a los planos coordenados

Otra caracterisitca grafica de una función es a lo que se le denomina Curvas de nivel, las cuales simbolizan el comportamiento del desplazamiento de la altura de una superficie en el espacio. Según larson tenemos la aplicación de las curvas de nivel en la topografía.“Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar
en el que el escalar z=F(x,y) se asigna al punto (x,y). Un campo escalar puede carac-
terizarse por sus curvas de nivel (o líneas de contorno ) a lo largo de las cuales el valor
de f(x,y) es constante…”
“Los mapas de contorno suelen usarse para representar regiones de la superficie de la
Tierra, donde lascurvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de
mapas se llama mapa topográfico.
Un mapa de contorno representa la variación de z respecto a x y y mediante espacio entre
las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel indica que z cambia lenta-mente, mientras que un espacio pequeño indica un cambio rápido en z. Además, en un mapa
de contorno,...