Resumen de distribuciones discretas

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Distribución Binomial

La distribución binomial es unas de las distribuciones de probabilidad discreta más importantes. Recordemos que en una distribución de probabilidad discreta, la variable aleatoria asigna un valor numérico a cada resultado en el espacio muestral del experimento. La distribución binomial tiene que ver con una clase especial deexperimento llamado experimento binomial.

Experimento Binomial

Un experimento que tiene exactamente dos posibles resultados o dos categorías de resultados conocidos como "éxito" o "fracaso".

Ejemplos 1. Experimento: Lanzar una moneda.
El experimento tiene solamente dos resultados (H, T), por lo tanto es un experimento binomial.

2. Experimento:Probando una nueva droga contra una enfermedad.
La droga cura (éxito) o no cura (fracaso) la enfermedad. Por lo tanto es un experimento binomial.

3. Experimento: Un jugador gana si obtiene un número mayor que 4 y pierde si obtiene cualquier otro número en el lanzamiento de un dado.

Los resultados del experimento (lanzar un dado) se puede poner enuna de dos categorías:

5, 6 1, 2, 3, 4

Los resultados en la primera categoría se definen como "éxito" y los resultados en la segunda categoría se definen como "fracaso".

Es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. Las características que debe cumplir una distribución de probabilidad para considerarse binomial, son:

• Elresultado de cada ensayo dentro del experimento se clasifica en dos categorías mutuamente excluyentes: éxito o fracaso.
• La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en un número fijo de ensayos.
• La probabilidad de éxito permanece igual para todos los ensayos. Lo mismo ocurre con la probabilidad de fracaso.
• Los ensayos son independientes. La ocurrencia de uno no afecta laprobabilidad de ocurrencia de otro.

La expresión matemática de este tipo de distribución es la siguiente:

Donde:

C = denota una combinación
n = es el número de ensayos
x = es el número de éxitos
p = es la probabilidad de éxito de cada ensayo
q = probabilidad de fracaso

Un ejemplo en el que se usa la distribución binomial es el siguiente:

Cada día Aero México tiene 5 vuelos México –Colima. Supón que para cada vuelo, la probabilidad de que este se retrase es de 0.20.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 vuelo se retrase?

Solución

a) La probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase es de 0.3277 ó 33%

P ( X ) = nCx px (1 – p) n – x
P ( 0 ) = 5C0 (0.20)0 (1 – 0.20) 5 – 0P ( 0 ) = (1) (1) (0.3277)
P ( 0 ) = 0.3277

b) La probabilidad de que exactamente un vuelo se retrase es de 0.4096 ó 41%

P ( X ) = nCx px (1 – p) n – x
P ( 1 ) = 5C1 (0.20)1 (1 – 0.20) 5 – 1
P ( 1 ) = (5) (0.20) (0.4096)
P ( 1 ) = 0.4096
La distribución binomial completa para n=5, p=0.20 es la siguiente:

|Número de vuelos |Probabilidad (x) |
|Con retraso (n)| |
|0 |0.3277 |
|1 |0.4096 |
|2 |0.2048 |
|3 |0.0512 |
|4 |0.0064 |
|5 |0.0003 |
|Total|1 |

La representación gráfica de esta distribución de probabilidad sería la siguiente:

[pic]

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