Resumen de la linea recta

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La Línea recta

Definiciones de línea recta:

1. Una línea recta es la figura geométrica en el plano formada por una sucesión de

Puntos que tienen la misma dirección. Dados dos puntos diferentes, sólo una recta

Pasa por esos dos puntos.

2. Es la figura geométrica formada por un polinomio de primer grado a0 + a1x.

3. Es la figura geométrica obtenida al unir dos puntos, tal que ladistancia recorrida

Sobre ésta figura, es la más corta.

Formulas.

Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen

Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación [pic] con el eje x (fig. 4.6.)

| |


[pic]Fig. 4.6
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen lospuntos P’1, P’2, P’3.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: 
[pic]
Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,[pic] ó y = mx (1) 
 
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. 
 Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y

Considere una recta l de la que seconocen m (m = tan [pic] ) y b (ver fig. 4.7.)

| |


[pic]fig. 4.7.
Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas  
P’’(x, Y), Y [pic] y. 
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces[pic], de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego,P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y) [pic]l, y = mx + b = (tan [pic])x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.












 Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida

Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1)y cuya pendiente m también es conocida.
 
| |Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por: |
| |                y = mx + b             (1) |
| |Como P1(x1, y1) [pic]l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:|
| |                 y1 = mx1 + b          (2) |


Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:
y – y1 = m(x – x1) (3)
La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.
Nótese que la ecuación (3)también puede escribirse en la forma: 
y = mx + (y1 – mx1).
Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y1 – mx1
[pic] fig. 4.8






 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente. 

||
|[pic] |
| |
||
|Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que  |
|                           y – y1 = m1 (x – x1)    (1) |...
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