Resumen de teoremas de algebra lineal

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Álgebra Lineal

ESPACIO VECTORIAL (V, ⊕, •α) es un espacio vectorial si y solo si V es un conjunto no vacío de objetos, junto con dos operaciones de Suma ⊕ y multiplicación por un escalar •α y cumple con los siguientes axiomas: A.1) ∀ v1 ,v2∈V[v1⊕v2∈V] CERRADURA DE LA SUMA A.3) ∀ v1 ,v2 ,v3∈V [v1⊕ ( v2 ⊕v3 )=( v1⊕v2 )⊕v3 ] ASOCIATIVIDAD A.2) ∀ v1 ,v2∈V [v1⊕v2 = v2⊕v1] CONMUTATIVIDADA.4) ∃ 0V ∈V ∀v∈V [ v⊕ 0V = v] EXISTENCIA DEL NEUTRO ADITIVO

A.5) ∀v∈V ∃ v’ ∈V [ v⊕ v’ =0V ] EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO M.2) ∀α∈ℜ∀ v1 ,v2∈V [α•( v1⊕v2 )= α•v1⊕α•v2]PRIMER AXIOMA DISTRIBUTIVO

M.1) ∀α∈ℜ ∀v∈V [α•v∈V] CERRADURA DE LA MULTIPLICACION POR ESCALAR M.3) ∀α,β∈ℜ∀v∈V [ (α+β)•v= α•v⊕β•v] SEGUNDO AXIOMA DISTRIBUTIVO M.4) ∀α,β∈ℜ∀v∈V [α•(β•v)= αβ•v] ASOCIATIVIDAD M.5) ∀v∈V[1•v = v]EL NEUTRO MULTIPLICATIVO TEOREMAS 1.- Si (V, ⊕, •α) es un espacio vectorial, entonces se cumple que ∀α∈ℜ [α•0V=0V] 3.- Si (V, ⊕, •α) es un espacio vectorial, entonces se cumple que ∀v∈V [(-1)•v=v’] 2.- Si (V, ⊕, •α) es un espacio vectorial, entonces se cumple que ∀v∈V [0•v=0V]

4.- Si (V, ⊕, •α) es un espacio vectorial, entonces ∀α∈ℜ∀v∈V [α•v=0V⇒(α=0)v(v=0V)] 5.- Si (V, ⊕, •α) es un espaciovectorial, entonces el vector nulo de V es único. 6.- Si (V, ⊕, •α) es un espacio vectorial, entonces el inverso aditivo es único para cada vector de V.

SUBESPACIO VECTORIAL H es un subespacio del espacio vectorial V si y sólo sí, H es un subconjunto no vacío del espacio vectorial V y H es un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas sobre V.TEOREMA (CRITERIO DE SUBESPACIO VECTORIAL): H es un subespacio del espacio vectorial V si y sólo sí H es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y H cumple con los dos axiomas de cerradura: A.1) ∀ h1 ,h2∈H[ h1⊕ h2∈H] CERRADURA DE LA SUMA M.1) ∀α∈ℜ ∀h∈H [α•h∈H] CERRADURA DE LA MULTIPLICACION POR ESCALAR

COMBINACION LINEAL Sea V un espacio vectorial. Si v1 , v2 , v3 , … , vn vectores de V yα1 , α2 , α3 ,…, αn ∈ℜ, entonces se define a la expresión : α1v1 +α2v2 +α3v3 +…+αnvn, como una combinación lineal de v1 , v2 , v3 , … , vn . CONJUNTO GENERADOR DE UN ESPACIO VECTORIAL Sea V un espacio vectorial y S={v1 , v2 , v3 , … , vn} un conjunto de vectores de V, se dice que S es un conjunto generador de V, si y sólo si :∀v∈V ∃α1 , α2 , α3 ,…, αn ∈ℜ [v =α1v1 +α2v2 +α3v3 +…+αnvn ] ESPACIOGENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES Sea V un espacio vectorial y S={v1 , v2 , v3 , … , vn } un conjunto de vectores de V . El espacio generado por S es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1 , v2 , v3 , … , vn L(S)=L{ v1 , v2 , v3 , … , vn } = { v / v = α1v1 +α2v2 +α3v3 +…+αnvn; α1 , α2 , α3 ,…, αn ∈ℜ, }

Ing. Cristian Arias 

Marzo 2009 

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Álgebra LinealINDEPENDENCIA LINEAL Sea V un espacio vectorial, S={v1, v2, v3 , … , vn} un conjunto de vectores de V y α1 , α2 , …, αn ∈ℜ. S es linealmente independiente en V si y solo si : α1v1 +α2v2 +α3v3 +…+αnvn = 0V ⇒ α1= α2 =…= αn =0 DEPENDENCIA LINEAL Sea V un espacio vectorial, S={v1, v2, v3 , … , vn} un conjunto de vectores de V y α1 , α2 , α3 ,…, αn ∈ℜ. S es linealmente dependiente en V si y solo si : α1v1 +α2v2+α3v3 +…+αnvn = 0V ⇒ ∃αi≠0, i=1,2,…,n TEOREMAS 1.- Sea V un espacio vectorial. El conjunto {v1, v2}es linealmente independiente en V si y solo si, v1 y v2 no son múltiplos escalares. 2.- Sea V un espacio vectorial. El 0V es una combinación lineal de cualquier conjunto de vectores de V. 3.- Sea V un espacio vectorial. Si el conjunto A={ v1 , v2 , v3 , … , vn }es linealmente independiente en V,entonces cualquier subconjunto de A es linealmente independiente en V. 4.- Sea V un espacio vectorial. Si el conjunto { v1 , v2 , v3 , … , vn }es linealmente dependiente en V y los vectores w1 , w2 , … , wk pertenecen a V, entonces el conjunto { v1 , v2 , v3 , … , vn , w1 , w2 , … , wk } es linealmente dependiente en V .

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Sea V un espacio vectorial y B= { v1 , v2 , v3...
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