Reticulo

Definición
Se llama retículo a un conjunto R, entre cuyos elementos se han definido dos operaciones, llamadas Unión eIntersección, y representadas por los símbolos  y respectivamente,tales que si A y B son dos elementos arbitrarios de R, A  B y A  B existen, son únicos y pertenecen a R.
Propiedades
1. Asociatividad. Para tres elementos cualesquiera, A, B, C, de R secumple que: A  (B  C) = (A  B)  C  ý  A  (B C) =  (A  B)  C
2. Conmutatividad. Para dos elementos cualesquiera A, B, de R se cumple que: A  B = B  A  ý  A  B =  B  A
3.Idempotencia. Para todo elemento A de R se verifica que: A  A = A  ý  A  A = A
4. Ley de Simplificación. Si A y B son elementos arbitrarios de R se verifica que: (A  B)  A = A  ý (A  B)  A = A
Esta última propiedad se puede deducir de las anteriores y de las propiedades generales de los conjuntos. Os animo a que dejéis un comentario con la demostración.
De acuerdocon esta definición se puede comprobar que el conjunto de las partes de un conjunto R(U) es un reticulo.
Se cumple también la siguiente propiedad:
Si A y B son elementos de un retículo R,se verifica que: A  B = B  <=>  A  B = A

Homomorfismos
La clase de todos los retículos forma una categoría si definimos un homomorfismo entre dos retículos (L, ) y (N, ) comouna función f: L  N tal que
f(a  b) = f(a)  f(b);
f(a  b) = f(a)  f(b);
Para todo a y b en L. Si es un homomorfismo biyectivo, entonces su inverso es también un homomorfismo, y se llama unisomorfismo de retículos. Los dos retículos implicados son entonces isomorfos; para todos los propósitos prácticos, son iguales y se diferencian solamente en la notación de sus elementos.Cada homomorfismo es una función monótona entre los dos retículos, pero no cada función monótona da un homomorfismo de retículo: además necesitamos la compatibilidad con supremos e ínfimos...