Riesgos En La Empresa

GEOMETRÍA ANALÍTICA

TRANSLACIÓN PARALELA DE LOS EJES.
CONTENIDO:
1.

ECUACIONES DE TRANSLACIÓN.

2.

EJERCICIOS.

En todos los temas tratados en relación con la línea recta, y los que veremos con
respecto a la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, se considerada el sistema de
coordenadas rectangulares. Sin embargo, con tendencia a simplificar las ecuaciones,
particularmente las curvascónicas, se opta por trazar un nuevo sistema rectangular
determinado, si cambiamos los ejes de las coordenadas que nos permita trabajar con las
ecuaciones mas simples.
Este cambio es la translación paralela de los ejes, el cual es el desplazamiento de uno
o ambos ejes de un sistema de coordenadas rectangulares, de tal manera que el origen quede
en una nueva posición pero permaneciendo cada ejeparalelo a los ejes originales.

1.

ECUACIONES DE TRANSLACIÓN.

El conocimiento de las formulas de translación nos ayudan a simplificar muchos
problemas de la geometría analítica.
Usaremos la Figura 1 para ver
como se pueden trasladar las
ecuaciones de las curvas de un
sistema cartesiano x o y, hasta ocupar
una posición x´ ó y´ de ejes paralelos
a los primeros.
Designamos el nuevo origen
por 0’(h,k), referidos al sistema de
coordenadas x, y, por el punto 0´
trazamos rectas paralelas al eje x y al
eje y, las que tomaremos como los
nuevos ejes x´ y y´. Todo punto P(x, y)
en el sistema original tendrá P´(x´, y´)
referidos al nuevo sistema de ejes.
Según la figura:

AP = x

,

EP = y

Que son las coordenadas originales del punto P(x, y)
Así mismo, tenemos:

BP = x′ , DP = y′
3. TRANSLACIÓNPARALELA DE LOS EJES
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTRE MIRILLO
EDITOR PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

3-1

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Que son las nuevas coordenadas del punto P´(x´, y´).
De la figura también se deduce que:

AP = BP + AB = x' + h
EP = DP + AB = y' + k
Sustituyendo tenemos que:
x = x´+ h...................................................................................................................... (1)
y = y´ + k ..................................................................................................................... (2)
O también:
x´ = x - h ...................................................................................................................... (3)
y´ = y - k...................................................................................................................... (4)
Que son las ecuaciones de translación, mediante las cuales se puede hacer una
translación paralela de los ejes de coordenadas. Su conocimiento nos ayuda a simplificar
muchos problemas de la geometría analítica, y se emplearan en la deducción de algunas
formulas en los temas correspondientes a la parábola, elipse e hipérbola.

2.

EJERCICIOS.

1.

Tomandocomo origen el punto 0´(-1, 2), y siendo los nuevos ejes paralelos a los
anteriores, encuéntrese la ecuación transformada de la curva dada por la
ecuación x 2 + 2x − y + 3 = 0 .

SOLUCIÓN
Del enunciado, se tiene que: h = - 1 y k = + 2
En este caso las ecuaciones de translación son:
x = x' − 1
y = y' + 2
Que se sustituyen en la ecuación dada, es decir:

(x'−1) 2 + 2(x'−1) − (y'+2) + 3 = 0Desarrollando:

x' 2 − x'+1 + 2x'−2 − y'−2 + 3 = 0
Simplificando términos semejantes:

3. TRANSLACIÓN PARALELA DE LOS EJES
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTRE MIRILLO
EDITOR PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

3-2

GEOMETRÍA ANALÍTICA

x' 2 = y'
Que es la ecuación transformada de la curva.
2.

La ecuación de una curva referida a un sistema de coordenadas xy,
es: x 2 − 10x − 4y + 9 = 0 . Encontrarla ecuación referida a un nuevo sistema de ejes x´y´
con el origen en 0´(5, - 4).

SOLUCIÓN
Según el enunciado se observa que h = + 5 y k = - 4, por tanto:
Las ecuaciones (1) y (2) quedan:
x = x' +5
y = y'−4
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación dada, se tiene:

(x'+5) 2 − 10(x'+5) − 4(y'−4) + 9 = 0
Desarrollando:

x' 2 +10x + 25 − 10x'−50 − 4y'+16 + 9 = 0
Simplificando:

x' 2 −4y' = 0...