Roger

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Integración de Riemann
En el área de Análisis Matemático, la integral de Riemann, es una forma de abordar el problema de la integración, denotada usualmente de la siguiente forma:

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Definición formal
Se van a definir cuatro conceptos, elúltimo siendo el que nos interesa: el primero una partición de un intervalo [a, b], el segundo la norma de una partición, el tercero una suma de Riemann y el último que una función acotada sea Riemann integrable en un intervalo [a,b].
[editar]Partición de un Intervalo y su Norma
Sea [a,b] un intervalo cerrado en los reales. Entonces una partición de [a,b] es un subconjunto finito P = {x0 = a,x1,...,xn = b} tal que xi > xi - 1, con i = 1,...,n. La norma de la partición es el intervalo más grande:

Lo que estamos haciendo en pocas palabras es cortar al intervalo en subintervalos disjuntos, cuya unión forma el intervalo original, la norma simplemente es la longitud del intervalo de mayor longitud.
[editar]Suma de Riemann
Sea f una función en [a, b] y tomemos una partición del intervalo[a, b], que denotaremos por P = {x0 = a, x1,...,xn = b} entonces llamamos suma de Riemann a una suma de la forma:
, con 
De manera intuitiva esta suma representa la suma de áreas de rectángulos con base xk - xk - 1 y altura f(tk). Simbolizamos esta suma como S(P, f), también se utiliza la notación más extensa pero más explícita:

[editar]Integrabilidad de Riemann
Unafunción f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es Riemann integrable en [a, b] si existe un número I en los reales tal que, para todo número real positivo ε existe una δ positiva tal que si P es una partición de [a, b] con ||P|| < δ y S(P,f) es cualquier suma de Riemann entonces |S(P, f) - I| < ε.
Usualmente para funciones conocidas que sabemos integrables se toma una partición regular del intervalo y setoman los tk como alguno de los puntos extremos de cada intervalo(notar que si no supiéramos que la función es integrable entonces no podríamos tomar cualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores extremos, tendríamos que revisar que para cualquier valor tk que tomáramos en cada intervalo [xk - 1, xk] la suma de Riemann menos algún número real I es menoren valor absoluto que cualquier ε que hubiéramos tomado, en caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es integrable según Riemann en [a, b] y habríamos hallado su valor; en caso de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto), cuando llevamos al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el valor de la integral:

Esta última expresión es sobre todo útil parafunciones que sabemos que son integrables como por ejemplo las continuas, podemos demostrar que toda función que es continua en un intervalo [a, b], es integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor de la integral, por supuesto si ya estamos familiarizados con elSegundo Teorema Fundamental del Cálculo entonces basta hallar una función F(x) (denominada "una primitiva" de f(x))cuya derivada nos dé nuestra función original f(x) y entonces el valor de la integral es F(b)-F(a). No siempre podemos hallar una función primitiva de la que estamos integrando, en esos casos se recurre a una expresión como la anterior o a métodos de aproximación.
[editar]Condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de Riemann
En este apartado nos referiremos a funciones acotadas enun intervalo cerrado [a,b] (igual que en los apartados anteriores).
Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann (no obstante esta es una condición suficiente); de hecho una función continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de Riemann, incluso una función con un número numerable de discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones...