Rotacion

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Dinámica de la rotación
Introducción

Sólido rígido
Para simplificar mucho la explicación de la rotación en los cuerpos se toma siempre un modelo de cómo son estos cuerpos que se denomina sólido rígido. Este modelo consiste en considerar que los cuerpos, los sólidos tomados, son absolutamente indeformables, son rígidos. Matemáticamente se puede expresar de una manera más rigurosa diciendoque la distancia entre sus partículas no cambia. Dada una partícula y otra del sistema que consideremos siempre se tendrá que siendo una constante cualesquiera.
Para un cuerpo de este tipo, por tanto, conociendo dónde está en un momento determinado una partícula y el ángulo de rotación del cuerpo respecto a la posición original, conocemos el resto de las posiciones de los puntos.
AnalogíasEl estudio de la dinámica de la rotación se puede hacer sencillo teniendo presentes las siguientes analogías entre la dinámica normal y ésta.
traslación | Rotación |
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Momento de una fuerza
Cuando un cuerpo sufre una aceleración es porque tiene una causa que lo provoca. Newton descubrió que es la fuerza lacausa de que esto suceda. ¿Cuál es la causa de una rotación?. Es el momento de una fuerza. Una deducción fácil, clara y divertida se puede encontrar en [1]. De momento aquí se expondrá su definición y propiedades. Como tomando será igual a siendo el ángulo formado entre el vector y . Por tanto la componente perpendicular al vector posición es la que interviene realmente en la rotación.
Lacomponente de la fuerza perpendicular al vector posición es la que realmente interviene en la rotación.

Momento angular
En dinámica de traslación la variación del momento lineal respecto al tiempo es denominada fuerza. Parece lógico suponer que debiera existir alguna magnitud análoga en dinámica de rotación tal que su derivada temporal nos proporcione también la causa, es decir, el momento de lasfuerzas . Como probemos a tomar siendo
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y ver que sucede al ser derivado. Es sencillo llegar a la conclusión de que, efectivamente, esta magnitud es la análoga del momento lineal en cuanto que al ser derivada se obtiene .
Derivar esta magnitud no es complicado, razonando que un producto vectorial no es sino un producto combinado de las componentes de un vector no parecedescabellado admitir que

Así tenemos que

en donde es sencillo darse cuenta de que y que . Tenemos entonces un primer sumando que será por se el producto vectorial de dos vectores paralelos, y un segundo sumando que es, efectivamente, igual a .
También se puede expresar en función del momento de inercia como

La igualdad se puede conseguir tomando un sólido rígido y calculando cuanto será sumomento angular. Para una determinada partícula tendremos que . De aquí sólo resulta interesante conocer cuanto será la proyección de este valor sobre el eje que vamos a tomar en este caso como el eje de rotación. Esta proyección se logra multiplicando por el , siendo el ángulo formado por con el eje de giro. Así tenemos que

siendo la distancia de la partícula al eje. Todo esto se puedeexpresar ahora fácilmente como

puesto que se define . Existen algunos ejes en un cuerpo, generalmente ejes de simetría, tales que si el cuerpo rota alrededor de estos ejes, el momento angular total es paralelo al eje de rotación, y por tanto para ellos . En estos casos se puede escribir que

El momento angular total como vector no tiene por qué estar en la dirección del eje de rotación si este ejeno coincide con alguno de simetría del cuerpo.

Momento de inercia
Se ha visto ya en apartados anteriores la importancia relativa del momento de inercia como el análogo de la masa para las rotaciones.
El momento de inercia es el análogo de la masa para una rotación.
Para sistemas discretos este momento de inercia se expresa como

donde representa la distancia de la partícula al eje...
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