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Radicales:
Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe , a un número b que elevado a n dé a
Ejemplos:


se llama radical; a, radicando; y n, índice de la raíz.

PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una,estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.
Primera:

Ejemplos:

Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:
simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;
conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice
común).

Segunda:

Ejemplos:

Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:
sacar unfactor fuera de la raíz;

de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.

RADICALES EQUIVALENTES

Para saber si dos radicales son equivalentes seguimos estos pasos.
1: los expresamos como una potencia de exponente fraccionario.
2: sus bases deben ser iguales.
3: las fracciones de sus exponentes deben ser equivalentes.
Supongamos que tenemos dos potencias de igual base, conexponente fraccionario, en las cuales sus exponentes son equivalentes, las pasamos a radicales y nos quedan dos radicales equivalentes. Esta transformación puede ser de potencia a radical y de radical a potencia.

En este caso primero amplifique el exponente de la potencia después lo transforme en radical de índice y por último despeje la potencia. Como podemos observar estas cuatro operaciones sonequivalentes.
Hay algunos casos en que el radicando no este expresado como una potencia pero lo podemos     transformar en una y nos sirve si queremos expresar el radical como una potencia de exponente fraccionario. Ejemplo

Para extraer factores de un radical usaremos la definición de producto en este sentidoVeamos unos cuantos ejemplos:
Simplificando el segundo radical queda:

En esteejercicio descompondremos en dos factores de modo que se pueda extraer alguno de ellos . 
Para introducir factores basta elevarlos al índice del radical e introducirlos dentro. Veamos la justificación de esto:




COMO SE CALCULAN RAICES:
Para empezar, vamos a ver cómo calcular la raíz cuadrada de un número de una o dos cifras. Por ejemplo, calculemos la raíz cuadrada de 71:

Esto es fácil:simplemente tenemos que hallar el número más alto, del 0 al 9, que multiplicado por si mismo nos dé 71 o menos. En este caso, el número que buscamos es 8, ya que 8x8=64, que es inferior a 71, y 9x9=81, que es superior a 71. Además, la operación tiene un "resto" que vale 7, ya que 71-8x8=7. Todo esto lo escribimos de esta manera:

Fácil, ¿no?
Pues ahora vamos a ver cómo se calcula la raíz cuadradade un número de más de dos cifras. Por ejemplo, el 71.492:

El primer paso consiste en dividir el número en grupos de dos dígitos, comenzando por la derecha:

A continuación, calculamos la raíz cuadrada del grupo de más a la izquierda:

En este caso hemos calculado la raíz cuadrada de 7, que es 2 con un resto de 3.
A continuación "bajamos" el siguiente grupo de dos dígitos y lo ponemos ala derecha del resto:

En el siguiente paso multiplicamos nuestra solución parcial por 2 (siempre por 2) y ponemos el resultado (4) en una nueva fila de la columna de la derecha:

Ahora viene la parte más complicada del cálculo. Tenemos que buscar un dígito de 0 a 9 para añadir a la derecha del 4, lo cual nos dará un número de dos cifras. Ese número de dos cifras, multiplicado por el dígito quehemos buscado, nos dará un número que tiene que ser igual o inferior a 314, que es el número que tenemos después de "bajar" el siguiente grupo de cifras. El dígito más alto que encontremos será la siguiente cifra de la solución.
Veamos un dibujo para hacerlo más claro. Imaginad que "X" es un dígito de 0 a 9 y que "ABC" es el resultado de multiplicar "4X" por "X":

En este caso, el dígito que...
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