Salto de altura ib

Salto de Altura
El salto de altura es una disciplina olímpica, en la que es participante trata de saltar sobre una vara denominada listón, que se encuentra a cierta altura, sin que esta caiga por algún toque del competidor. Esta competencia ha estado en los Juegos Olímpicos desde que estos iniciaron.
Las alturas que han logrado los ganadores de esta competencia tienen una relación muyinteresante que en esta tarea se estudiaran.
Los datos que estudiaremos no serán todos, sino solo del periodo comprendido entre 1932 y 1980, aunque en este periodo en 1940 y 1944 no hubo competencias debido a la Segunda Guerra Mundial.
Los datos son los siguientes:
Año | Altura(cm) |
1932 | 197 |
1936 | 203 |
1948 | 198 |
1952 | 204 |
1956 | 212 |
1960 | 216 |
1964 | 218 |
1968 | 224 |1972 | 223 |
1976 | 225 |
1980 | 236 |
Tabla 1
Con estos datos podemos ver que hasta 1956 el incremento de altura fue congruente pero en este año la altura aumento considerablemente, y esto se debe a la técnica que invento George Horine, y posteriormente en 1968 sube otra vez en las Olimpiadas de México gracias a la técnica del estadounidense Dick Fosbury que revoluciono el deporte y hoyen día es la técnica más usada. Esto hizo que otra vez el incremento fuera considerable.
Para poder entender mejor los datos los graficaremos en una grafica de dispersión en la cual en el eje x estarán los años, pues son la variable independiente, y en el eje y los centímetros pues estos dependen del año. Teniendo como resultado.

Grafica 1
Con la Grafica 1 podemos ver gracias a la línea detendencia que los datos tienen un parecido considerable a una función polinomial de grado 2 pero no es exacta en todos los puntos ya que los datos no tienen una congruencia todas las veces, así que calcularemos una que se aproxime lo más posible. Para ello utilizare un sistema de ecuaciones, usando como base la formula fx=ax2+bx+c de las funciones cuadráticas, y usando 3 puntos elegidos al azar dela Tabla 1, que son:

Año | Altura(cm) |
1960 | 216 |
1964 | 218 |
1968 | 224 |
Tabla 2
Con estos 3 datos podemos sustituir la formula, creando 3 de ellas, una para cada par de cantidades, quedando así:
1.- 216=a(1960)2+b1960+c
2.- 218=a(1964)2+b1964+c
3.- 224=a(1968)2+b1968+c
A continuación restaremos las formulas 2-1 y 3-2 para crear otras 2 más pero que no tengan la variantec en ellas.
.- a3857296+b1964+c=218
1.- -a3841600-b1960-c=-216
Dando como resultado:
4.- a15696+b4=2
Con la ecuación 3 y 2 generaremos otra ecuación de la misma manera que hicimos para poder obtener la número 4.
3.- a3873024+b1968+c=224
2.- -a3857296-b1964-c=-218
Así la ecuación número 5 es:
5.- a15728+b4=6
El siguiente paso es eliminar la b para ello restaremosla ecuación 4 a la 5, así eliminaremos las b’s y podemos sacar el valor de a con un simple despeje.
5.- a15728+b4=6
4.- -a15696-b4=-2
El resultado sería: a32=4
a=432
a=18
Ahora con esto podemos despejar b muy fácilmente en la ecuación 5 o 4 cualquiera que uno elija.
a15728+b4=6
18*15728+b4=6
1962+b4=6
b4=6-1962
b4=-1960
b=-19604
b=-409Con a y b ahora podemos sacar el valor de c en la ecuación 3 del primer paso.
a19642+b1964+c=218
a385729+b1964+c=218
18*385729+-409*1964+c=218
482162+(-962360)+c=218
-480198+c=218
c=218+480198
c=480416
Con estos 3 valores sabemos que la formula de nuestra función cuadrática es:
fx=18x2+-409x+480416
Para comprobar esta fórmula se graficara la formula y se comparara con laGrafica 1.

Grafica 2
Como se puede apreciar en la grafica anterior solo los valores que usamos para calcular la función son lo que fueron los mismos y los demás erraron, unos por un poco y otros por mucho, esto sucedió porque los valores son demasiado grandes provocando que la parábola sea más pronunciada y no toque los valores más a los extremos, o que están más alejados de los que utilizamos...