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r (t ) = x (t )i + y(t ) j + z(t )k
z
P(x, y, z)(s)
r (t)
O
y
x
Figura 1. Vector de posición del punto respecto del sistema de coordenadas cartesianas.
Al cambiar la posición del punto con el tiempo, el extremo del vector r describeuna curva que es la curva indicatriz del vector r (t ) . Dicha curva se llama trayectoria (s) y es el lugar geométrico de los puntos del espacio que indican las posiciones sucesivas del punto a lolargo del tiempo. Sus ecuaciones paramétricas son:
x = x (t ) y = y(t ) z = z (t )
El vector velocidad de un punto, en general también función de t, se define como la derivada con respecto altiempo del vector posición:
v=
d r dx dy dz i+ j + k = x i + y j + zk = dt dt dt dt
que será tangente a la trayectoria.
dx dy dz v = + + = x 2 + y2 + z2 dt dt dt
2 2 2
En un pequeño intervalo de tiempo el vector ∆ r se aproxima al ∆s , por eso
cuando ∆t → 0
el d r se hace igual a ds (figura 2). dr dt
Por tanto el módulo de la velocidad puedeescribirse como: v =
=
ds siendo dt
ds = dx 2 + dy 2 + dz 2
z
P
r (t)
∆s
∆r
Q
r (t + ∆t)
O
y
x
Figura 2. Trayectoria y variación de posición de un punto en unincremento de tiempo.
El vector aceleración de un punto, se define como la derivada con respecto al tiempo de su vector velocidad.
a=
dv y dv d 2 r dv x dv d2x d2y d 2z = 2 = i+ j+ z k = 2 i +...
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