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SECCIONES DE MÁXIMA EFICIENCIA
Q=AnR23S12
Q=AnAP23S12
En la segunda ecuación se observa que P (perímetro mojado) es inversamente proporcional al gasto Q, es decir, si P aumenta Q disminuye y si P disminuye Q aumenta.
Al observar la formula de maning, podemos preguntarnos lo siguiente: para un canal que se conozca A, n, S0, ¿Cuál es la sección que permite que pase un gasto máximo?. Enel miembro de la derecha de la formula de maning a quedado como variable R, por consiguiente Qmáximo solo podrá presentarse cuando se tenga un valor máximo posible de R. A la selección que cumple con esta condición se le conoce como sección de máxima eficiencia.
El radio hidráulico R es máximo cuando el perímetro mojado P es el mínimo posible, ya que por definición R=A/P y A se suponeconstante.
Enseguida se examinará que características debe tener una sección de máxima eficiencia en una canal trapecial.
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A=b+b+2mhh2
A=2b+2mhh2
A=2b+2mhh2
A=hb+2mh
A=bh+mh2
Pm=b+2hm2+1
Despejando b de la ecuación del área:
b=A-mh2h
b=Ah-mh
Sustituyendo b en la ecuación del perímetro:Pm=Ah-mh+2hm2+1
Derivando con respecto a h:
∂P∂h=-Ah2-m+2m2+1
Igualando esta ecuación a cero:
-Ah2-m+2m2+1=0
Sustituyendo la formula de área en la ecuación anterior:
-bh-mh2h2-m+2m2+1=0
-bh-m-m+2m2+1=0
Despejando b de la ecuación:
-bh=2m2+1-2m
b=2hm2+1-2hm
b=2h(m2+1-m)
Esta es la condición necesaria para que un canal funcione con máxima eficiencia hidráulica,cuando se conoce la inclinación de sus taludes.
Las secciones de máxima eficiencia en canales trapeciales implican ancho de plantilla b muy pequeñas y aun menores que el tirante cuando m es mayor a 0.75, que es un caso muy común en la práctica. Esta característica significa normalmente problemas de construcción, debido a que el espacio para colocar la maquinaria no es suficiente y se requierenexcavaciones muy profundas. Por esta razón, las secciones de máxima eficiencia no se construyen a menudo y solo podrán convenir en casos en que el revestimiento sea demasiado caro ya que al área de contacto entre el agua y el canal es la mínima posible. En canales rectangulares si pueden convenir este tipo de secciones.
CANAL RECTANGULAR
m=0
b=2h02+1-0
b=2h
SECCIÓN DE MÁXIMA EFICIENCIACUANDO m** NO ESTA FIJO
∂P∂m=-h+2h12m2+1(2m)
∂P∂m=-hm2+1)+2hmm2+1
∂P∂m=h(2m-m2+1)m2+1
Igualando esta ecuación a cero:
h(2m-m2+1)m2+1=0
h=0 (se descarta por no hacer tirante cero)
2m-m2+1=0
Elevando los dos términos al cuadrado:
2m2=m2+12
4m2=m2+1
3m2-1=0
m2=13
m=13
tanθ=1m
tanθ=113
tanθ=3
θ=tan-13
θ=60°
En forma similar se pueden determinarsecciones de máxima eficiencia para otras figuras geométricas, por ejemplo: para el circulo es el semicírculo, y para el triángulo es la mitad de un cuadrado y apoyado en uno de sus vértices, por supuesto y con un talud m= 1.
Tarea
Investigar la sección de máxima eficiencia para otras figuras geométricas
TAREAS
Se desea transportar un gasto Q igual a 100 m3/s por un canal con velocidadV=16 m/s, revestido con concreto (n=0.014) y talud m=0.25.
Calcule para la sección de máxima eficiencia el ancho de la plantilla b, el tirante normal h y la pendiente S0.
Si b=6 m y con la S0 calculada en el inciso anterior, ¿que gasto puede llevar la nueva sección de máxima eficiencia?
DATOS
Q=100 m3/s
V=16 m/s
n=0.014
m=0.25
Solución
Q=AVA=QV=10016=6.25 m2
b=Ah-mh
b=2h(m2+1-m)
Igualando las dos ecuaciones anteriores
2hm2+1-m=Ah-mh
2h0.252+1-0.25-6.25h-0.25h=0h
2h20.252+1-0.25-6.25+0.25h2=0
1.5615h2+0.25h2-6.25=0
1.8115h2=6.25
h=6.251.8115
h=1.86 m
b=Ah-mh=b=6.251.86-0.25(1.86)
b=2.90 m
Pm=b+2hm2+1
Pm=2.90+2(1.86)0.252+1
Pm=6.73448 m
R=APm=6.256.73448=0.928 m
Despejando S0 de la...