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UNIVERSIDAD JORGE TADEO LOZANO DEPARTAMENTO DE ECONOMIA ECONOMETRÍA I CÉSAR ARIZA 2012-3 TALLER 1 El siguiente taller debe ser diligenciado por parejas. La entrega debe hacerse el viernes 24de Agosto. Sólo se recibirán copias físicas. 1. Para una variable aleatoria discreta X se de…ne el valor esperado como E [X] =
n X i=1

xi p i

donde xi son los posibles valores adoptadospor la variable aleatoria y pi su probabilidad respectiva. De acuerdo a la anterior de…nición, pruebe las siguientes propiedades del valor esperado, las cuales de…nen su linealidad comooperador. a) E [b] = b para toda constante b b) E [aX + bY ] = aE [X] + bE [Y ] para constantes a; b y variables aleatorias X; Y c) Calcule el valor esperado de la variable aleatoria que asocia elexperimento de lanzar un dado (normal y equilibrado) al número que muestra la cara superior 2. La varianza de una variable aleatoria X se de…ne como: V ar [X] = E [(X E [X])]
2

Pruebe lassiguientes propiedades de la varianza: a) V ar [X] = E X 2 (E [X])2 b) V ar [b] = 0 para toda constante b c) Calcule la varianza de la variable aleatoria descrita en el punto 1c. 3. Lacovarianza de dos variables aleatorias X y Y se de…ne como: Cov [X; Y ] = E [(X E [X])(Y E [Y ])]

Pruebe las siguientes propiedades de la covarianza: a) Cov [X; a] = 0 para toda constante a b) Cov[X; X] = V ar [X] c) Cov [aX; bY ] = abCov [X; Y ] para constantes a; b

1

d) Cov [aX + bY; cW + dV ] = acCov [X; W ]+adCov [X; V ]+bcCov [Y; W ]+ bdCov [Y; V ] para constantes a; b; c;d y variables aleatorias X; Y; V; W 4. La correlación entre dos variables aleatorias X y Y se de…ne como:
XY

Pruebe las siguientes propiedades de la correlación:

Cov [X; Y ] = Corr [X;Y ] = p V ar [X] V ar [Y ]

a) Corr [X; X] = 1 b) Corr [bX; Y ] = Corr [X; Y ] para cualquier constante b c) Corr [a + bX; c + dY ] = Corr [X; Y ] para constantes a; b; c; d

2

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