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La ley de Malthus
En el siglo XIX, Malthus propuso un modelo para el crecimiento de una población de una especie. Según este modelo, la población crece siguiendo la ley
xk+1 = a xk
donde xk es lacantidad de individuos en el instante k y a es la tasa de crecimiento.
Una justificación muy simple para esta fórmula es pensar que cada individuo tiene en 1 año una cantidad a de hijos y elindividuo origanal muere. Si empiezan 100 indivudos, al segundo año habrá a . 100 individudos, al tercer año, habrá a . a . 100 individuos y así sucesivamente.
Consideremos una función que dada una poblaciónde x individuos, nos diga cuántos individuos habrá al año siguiente. La función que queda definida es f (x) = a x.
Si comienzan x individuos, al año habrá f (x) individuos. A los dos años, habrá f(f (x)) individuos. A los tres años habrá f (f (f (x))) individuos. Esta notación no es muy práctica. Vamos a introducir la notación f k(x) para indicar la aplicación de k veces la función f a x. Porejemplo, f (f (x) ) = f 2(x). Luego de k años, habrá entonces f k (x) individuos.
Por favor, no confundan f k(x) con (f (x))k. Lo primero denota componer f consigo mismo k veces y lo segundo es elevarel valor de f (x) a la potencia k.
Supongamos x0 = 1, a = 2. En la siguiente tabla vemos f k(x0) para algunos valores de k.
|k |f |
| |k(x0) |
|0 |1 |
|1 |2 |
|2 |4 |
|3 |8|
|4 |16 |
|5 |32 |

(tomaremos por convención f 0(x) = x)
Como vemos, según este modelo, la población crece muy rápidamente. Este es un gráfico de f k(x).
[pic]
Aplicar f varias veceses un proceso iterativo que juega un papel muy importante en toda la teoría del caos.
Veamos otra forma de graficar este proceso iterativo.
1. Graficamos la recta f (x) = 2 x. Llamemos r a estarecta.
2. En el mismo grafico, graficamos la recta x. Llamemos s a esta recta.
3. Tomamos un punto cualquiera x0, del eje X. Para obtener f (x0) debemos movernos para arriba o abajo hasta la...
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