Secciones conicas
Páginas: 6 (1428 palabras)
Publicado: 11 de mayo de 2011
Sección cónica
Definición
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
En el gráfico siguiente se muestra dicha intersección:
[pic]
Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano respectodel eje del cono (ß), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: [pic]
Expresión algebraica
[pic]
Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
[pic]
en la que, enfunción de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² > ab: hipérbola.
h² = ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a = b y h = 0: circunferencia .
Características
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguienteselementos:
• Centro, O
• Eje mayor, AA´
• Eje menor, BB´
• Distancia focal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: [pic]
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyasdistancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
• Centro, O
• Vértices, A y A
• Distancia entre los vértices
• Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola concentro (0, 0), es: [pic]
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:
• Eje, e
• Vértice, V
• Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el deordenadas, tiene la siguiente ecuación: [pic]
Definición Analítica
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
[pic]
En la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
[pic]
La Elipse
[pic]
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un planooblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
[pic]
También podemos decir que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva (ver figura). La Elipse es una curva cerrada.
[pic]
5.1. Elementos de la elipse:• Focos
Son los puntos fijos F y F'.
• Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
• Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
• Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
[pic]
• Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
• Centro de Simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejesde simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
[pic]
5.2. Excentricidad (e)
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.
[pic]
5.3. Ecuación Reducida de la Elipse
[pic]
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:...
Definición
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
En el gráfico siguiente se muestra dicha intersección:
[pic]
Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano respectodel eje del cono (ß), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: [pic]
Expresión algebraica
[pic]
Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
[pic]
en la que, enfunción de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² > ab: hipérbola.
h² = ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a = b y h = 0: circunferencia .
Características
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguienteselementos:
• Centro, O
• Eje mayor, AA´
• Eje menor, BB´
• Distancia focal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: [pic]
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyasdistancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
• Centro, O
• Vértices, A y A
• Distancia entre los vértices
• Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola concentro (0, 0), es: [pic]
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:
• Eje, e
• Vértice, V
• Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el deordenadas, tiene la siguiente ecuación: [pic]
Definición Analítica
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
[pic]
En la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
[pic]
La Elipse
[pic]
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un planooblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
[pic]
También podemos decir que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva (ver figura). La Elipse es una curva cerrada.
[pic]
5.1. Elementos de la elipse:• Focos
Son los puntos fijos F y F'.
• Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
• Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
• Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
[pic]
• Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
• Centro de Simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejesde simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
[pic]
5.2. Excentricidad (e)
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.
[pic]
5.3. Ecuación Reducida de la Elipse
[pic]
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:...
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