Secciones Conicas

Circunferencia
Definición
Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio.

Ecuación de la circunferencia
X2+Y2=R2
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
grafica
Ejemplo

Encuentra la ecuación de lacircunferencia centrada en el punto C(2, – 3) y radio 5. Grafica.
Todo punto que pertenezca a la circunferencia debe estar a distancia 5 del punto C(2, – 3), por lo tanto debe verificarse que:
d(P, C) = 5)3y()2x())3(y()2x(2222=++−=−−+−
Elevando al cuadrado se tiene:
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25

Elipse
Definición
Una elipse es el conjunto de puntos P del plano tal que la suma de las distancias entre Py dos puntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro.

Ecuación de la elipse
X2+Y2/A2+B2=1
Propiedad interesante de la elipse
Una de las propiedades geométricas más interesante de la elipse afirma que un rayo que emana de uno de los focos de la elipse y se refleja en ella pasa por el otro foco; esta propiedad se conocecomo la propiedad de reflexión.
Y SU GRAFICA
Ejemplo
Ejercicio 3 y 4

HIPÉRBOLA

Definición
Se llama hipérbola al conjunto de puntos P del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias entre P y dos puntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento de recta que une los focos se denomina centro.

Ecuación de la hipérbola

Propiedadesnotables de una hipérbola
(I) La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco

(II) La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formados por los segmentos que unen tal punto con los focos

Ejemplo
Ejercicio 1 y 2
PARÁBOLA
Definición
Se llama parábola al conjunto depuntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y una recta fija, llamada directriz.

Ecuación de la parábola
Propiedad interesante de la parábola
Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos: un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de laparábola, sin importar cual sea el punto de reflexión. Recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco. Este hecho es útil en la construcción de linternas, faros de automóviles y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa está en el foco.

EJEMPLOS

Ejercicios 2 y3http://www.ing.unlp.edu.ar/ingreso/contenidos/secciones_conicas_parabola-12-16.pdf
http://www.ing.unlp.edu.ar/ingreso/contenidos/circunferencia_elipse-17-24.pdf
http://www.ing.unlp.edu.ar/ingreso/contenidos/hiperbola-25-30.pdf

APLICACIONES PRACTICAS HIPERBOLA

Propiedad Óptica
Consideremos un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejaráalejandose directamente del otro foco.
Sistema de navegación LORAN
La propiedad de la definición de la hipérbola: la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante, se utiliza en la navegación.En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco enaltamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales, En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la difeerencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco...