Secciones conicas

Secciones Cónicas - Raúl Ibáñez Torres

SECCIONES CÓNICAS
Raúl Ibáñez Torres (*)
A los matemáticos se nos ha acusado contínuamente de estudiar cosas sólo para divertirnos, aunque en principio parezcan carentes de toda utilidad. Sin embargo, a pesar de que en ocasiones esta acusación pueda estar bien fundamentada, el tiempo ha ido probando que esos estudios finalmente han tenido un enormevalor científico. Un interesante ejemplo de este hecho lo encontramos en las secciones cónicas, entendiendo por este término la elipse, la parábola y la hipérbola. Parece ser que fue Menecmo (375-325 a.c.) quien descubrió las secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola) tratando de resolver los tres famosos problemas de la matemática griega, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y lacuadratura del círculo. Las secciones cónicas fueron originalmente definidas como la intersección de un cono circular recto (un cono circular es una superficie generada por las rectas que pasan por una circunferencia dada y un punto fijo, llamado vértice, que no está en el plano de la circunferencia; si además, la línea que une el vértice del cono con el centro de la circunferencia esperpendicular al plano de la circunferencia, se dice que el cono circular es recto) de ángulo variable (el ángulo del cono es el ángulo formado entre dos rectas generadoras que están en un mismo plano que pasa por el vértice y el centro de la circunferencia) y un plano perpendicular a una de las rectas generadoras del cono, que no pase por su vértice. Dependiendo de que el ángulo sea menor, igual o mayor queun ángulo recto, obtenemos la elipse, la parábola, la hipérbola, respectivamente (figura 1). De hecho, los nombres que adquirieron entonces no eran mas que descripciones triviales de su definición: secciones de un cono agudo (oxitoma), secciones de un cono rectángulo (ortotoma) y secciones de un cono obtuso (amblitoma).

Figura 1: Elipse (agudo), Parábola (recto), HIpérbola (obtuso). Apoloniode Perga (262-190 a.c.), conocido con el sobrenombre de el gran geómetra, fue quien consolidó y extendió los resultados conocidos sobre cónicas en un tratado titulado Secciones cónicas, formado por 8 libros y con 487 proposiciones. Apolonio fue el primero en observar y demostrar que los tres tipos de secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola) podían obtenerse como secciones de un mismo conocircular recto (e incluso de un cono circular no recto) sin más que cambiar la posición del plano que genera la sección.

(*) Profesor de la Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea. [traducción al euskera realizada por D. Jesús Artaraz].

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SIGMA Nº 20 • SIGMA zk. 20

Raúl Ibáñez Torres - Kono-Formako Sekzioak

KONO-FORMAKO SEKZIOAK
Raul Ibañez Torres (*)Matematikarioi beti leporatu digute dibertitzeko gauzak bakarrik ikertzen ditugula, nahiz eta erabilerarako baliagarriak ez direla ematen duten. Baina, nahiz eta sarritan akusazio hau ondo oinarriturik dagoen, denborak frogatu du ikerketok azkenean balio izugarria izan dutela. Adibide interesgarria kono-formako sekzioetan aurkitzen dugu; hau da, elipsean, parabolan eta hiperbolan. Badirudi kono-formakosekzioak deskubritu zituena Menecmo ( k.a. 375-325 ) izan zela, greziar matematikaren hiru problema ospetsu ebazten saiatuz: angelu baten trisekzioa, kuboaren bikoizketa eta zirkuluaren koadratura. Kono-formako sekzioak hasieran honela definitu ziren: angelu aldakorreko zirkulu-formako kono zuzenaren eta konoaren zuzen sortzaile baten plano elkarzutaren arteko ebaketa. Zirkulu-formakokonoa,zirkuferentzia eta emandako puntu finko batetik pasatzen diren zuzenek sortutako azalera da: honi erpina deitzen zaio eta ez dago zirkunferentziaren planoan kokatua; honez gain, konoaren erpina zirkunferentziaren erdiko puntuarekin lotzen duen lerroa zirkunferentziaren planoarekiko elkarzuta baldin bada, zirkulu-formako konoa zuzena dela esaten da. Angelua, angelu zuzenaz alderatuz txikiagoa, berdina edo...