Secundaria

APLICACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
* 1. Estudio de transitorios de circuitos.
* a.- Circuito resistivo-inductivo serie.
* La forma general de un circuito RL serie bajo excitación de tensión es la siguiente:
*
*   La respuesta a esta excitación de tensión será una corriente i que producirá sobre la resistencia y sobre la inductancia sendas caídas detensión, las cuales vendrán dadas respectivamente por:
*
*
* Si aplicamos al circuito la segunda ley de Kirchoff, tendremos que el valor instantáneo de la tensión en función del tiempo será:
*
*
*  2.- Circuito R L serie con excitación escalón y condiciones iniciales nulas.
* La excitación escalón corresponde a la siguiente expresión matemática:
* t entonces u(t) = 0
*  
* t > 0 entonces e (t) = V
*
* Partimos como siempre de la expresión:
*
* siendo nuestro circuito el siguiente:
*
* Esta última expresión, es una expresión diferencial no homogénea, lineal de primer orden, la cual para resolverla requerirá una previa separación devariables tal cual se indica en las operaciones que haremos.
*
*
* portanto 
* integrando ambos miembros:
* (1)
* Resta ahora aplicar las condiciones iniciales, es decir:
* para t = 0 i = 0
* y con esto determinar K:
* por tanto 
* reemplazando el valor de K en ( 1 ):
*
* multiplicando por – l esta última expresión y operando llegamos a :
*
*
*
* luego, la caída de tensión en la resistencia será:
*
* y lacaída de tensión en la bobina será:
*
* de vr y vl es constante e igual a V en el circuito.
*
* 3.- Circuito R L serie con excitación escalón y condiciones iniciales no nulas
* Este es el caso para el cual:
* en t = 0 entonces i = +/- Io
* será menester para este caso determinar nuevamente la constante de integración.
* El circuito a emplear será el siguiente:*
*  Para calcular la constante de integración nos basaremos en la expresión (1 ) del párrafo anterior, es decir:
*
* Aplicando a esta expresión las condiciones iniciales:
* en t = 0 entonces i = +/- Io
* Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
* por tanto
* Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
*Remplazando esta última expresión en la expresión (1 ) tendremos:
* Para ver las fórmulas seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
* 4.- Circuito R C serie
* La forma general de este circuito bajo excitación de tensión será el siguiente:
*
* Aplicando la segunda ley de Kirchoff a este circuito, tendremos:
* v (t) = vr + vC
* Donde vC es lacaída de tensión en el capacitor y vr =i . R es la caída de tensión en la resistencia. De la definición de corriente sabemos que:
* Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
* y de la definición de capacidad:
* Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
* llegamos a la siguiente expresión de la corriente:
* Para ver la fórmulaseleccione la opción "Descargar" del menú superior
* que remplaza en la expresión de vr da:
* Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
* y en definitiva:
*
* La cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden y no homogénea. Todas las conclusiones sacadas para el circuito R L son válidas para este circuito.
* 5.- Circuito R C sinexcitación con condiciones iniciales no nulas.
* Régimen natural.
* Este circuito a estudiar queda librado a la acción de la carga:
* Qo = C . Vo
* que almacena el capacitor.
* Su energía E = ½ C. Vo 2 se disipa en el resistor y el circuito de estudio será el siguiente:
*
* A partir de la ecuación diferencial del párrafo anterior trataremos de estudiar la ley de...