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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ([pic])

El conjunto de los números reales esta constituido por los conjuntos:

[pic] números naturales

[pic] números enteros

[pic] númerosracionales

[pic]números irracionales

A continuación se muestra, en un diagrama de Venn su composición:

[pic]
Aquí podemos observar las siguientes características entre los reales y sussubconjuntos:

[pic] , [pic] , [pic]

El conjunto de los números Reales tiene dos operaciones: Suma y producto. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades.

i) Si a , b [pic][pic] entonces a+b[pic] [pic]
ii) Si a , b[pic] [pic]entonces a+b=b+a
iii) Si a, b, c [pic] [pic] entonces (a+b)+c=a+(b+c)
iv) Existe un elemento 0[pic] [pic] tal que a+0=0+a=a paratodo a[pic] [pic]
v) Para cada elemento a[pic] [pic], hay un elemento -a[pic] [pic] tal que;
a+(-a)=(-a)+a=0.
vi) Si a , b [pic] [pic] entonces ab[pic] [pic]
vii) Si a , b[pic][pic] entonces ab=ba
viii) Si a, b, c [pic] [pic] entonces (ab)c=a(bc)
ix) Existe un elemento 1[pic] [pic] tal que a1=1a=a para todo a[pic] [pic]
x) Para cada elemento a[pic] [pic],a[pic] hay un elemento [pic][pic] [pic] tal que;
a([pic])=([pic])a=1.
xi) Si a, b, c [pic] [pic] entonces: a(b+c)=ab+ac y (a+b)c=ac+bc

Nota: El símbolo [pic] se lee “Pertenece a…”Existe un subconjunto no vació [pic] de [pic] llamado el conjunto de los números reales positivos que satisfacen las siguientes propiedades:

i) Si a y b pertenecen a [pic] entonces a +bpertenece a [pic]
ii) Si a y b pertenecen a [pic] entonces ab pertenece a [pic]
iii) Si a pertenece a [pic] entonces se satisface una sola de las siguientes propiedades: a pertenece a [pic], a = 0, - a pertenece a [pic] (Propiedad de tricotomía)

De igual manera existe un subconjunto no vació [pic] de [pic] llamado el conjunto de los números reales negativos, que se define así: K={-a /...
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