Semejanza de figuras planas

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SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, de manera que una de ellas se puede considerar como ampliación o reducción de la otra.

CRITERIO DE SEMEJANZA ENTRE DOS POLÍGONOS: Para que dos polígonos (con el mismo número de lados) sean semejantes se han de cumplir las dos condiciones siguientes:

1. Los ángulos respectivos han de ser iguales:
A = A´ ;B = B´ ; C = C´ ; ...

2. Los lados respectivos han de ser proporcionales:
AB / A´B´ = BC / B´C´ = CD / C´D´ = ... = constante

Los vértices, lados y ángulos correspondientes a dos polígonos semejantes se llaman homólogos; y a la constante de proporcionalidad, que es la razón entre las longitudes de dos lados homólogos, se llama razón de semejanza.

Es importante recordar que:

1. Larazón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a su razón de semejanza.
2. La razón de las áreas de dos polígonos es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales

Para determinar la semejanza entre dos triángulosexisten tres criterios que son los siguientes:

Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA)
Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales.

Ejemplo:

Si se dice que (A = (D y que el (C = (F, entonces el (ABC ( (DEF

Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado ( LAL)
Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruenteel ángulo que forman.

Ejemplo:

Si se dice que [pic] y que (B = (E, entonces el (ABC ( (DEF

Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)
Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales.

Ejemplo:

Si se dice que [pic] entonces el (ABC ( (DEF

EJERCICIOS

1. Dos cuadriláteros A y B son semejantes. los lados del cuadrilátero A son 10, 15, 18 y 12cm. Si la constante de proporcionalidad es 3, ¿cuánto mide el menor de los lados de B?

|a) [pic] cm. |b) [pic] cm. |c) 5 cm. |d) 6 cm. |e) 30 cm. |

2. Los perímetros de dos polígonos semejantes P y Q son 45 y 54. El lado mayor de P es 15, ¿cuál es el lado mayor de Q?

|a) 5 |b) 6 |c)15 |d) 18 |e) 24 |

3. En un triángulo las medidas de los ángulos interiores están en la razón 4 : 9 : 5. El triángulo es:

I) Isósceles
II) Rectángulo
III) Acutángulo

|a) Sólo I |b) Sólo II |c) Sólo III |d) Sólo I y II |e) Sólo I y III |

4. Los triángulos ABC y DEF sonsemejantes. AB = 6 cm., BC = 12 cm., DE = 10 cm. y DF = 7,5 cm. Determinar AC + EF.

|a) 7,2 cm. |b) 12,5 cm. |c) 19,5 cm. |d) 19,7 cm. |e) 24,5 cm. |

5. Calcular la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4,2 metros, si se sabe que un poste de 2,5 metros de altura proyecta, en el mismo momento, una sombra de 1,4 metros.|a) 2,35 m. |b) 4,2 m. |c) 5,3 m. |d) 7,5 m. |e) 15 m. |

6. Tres árboles se encuentran alineados. El más pequeño mide 2 metros, el mediano mide 3,5 metros. Si la distancia entre cada árbol es de 15 metros, ¿cuánto mide el árbol más alto?

|a) 3,5 m. |b) 5 m. |c) 5,5 m. |d) 7 m.|e) 15 m. |

7. Los lados de un polígono miden 6, 9, 12 y 15 cm. ¿Cuál es el perímetro del polígono semejante al anterior si su lado mayor mide 20 cm?

|a) 42 cm. |b) 47 cm. |c) 56 cm. |d) 62 cm. |e) Ninguna de las |
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