Seno y coseno

Teorema del Seno

Definición:
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamenteopuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

|Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces: |
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Demostración del Teorema del Seno:

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita.Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos Ay P son iguales, porqueambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz).

Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene:

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Donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
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Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Laconclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

|Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el...