Sergio

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TEOREMA DE GREEN

El teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema deGreen se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:
Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada,diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

A veces la notación

se utiliza paraestablecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.
|
Prueba del teorema de Green cuando D es una región simple

Si demostramos que lasecuaciones 1 y 2

y

son correctas, probamos el teorema de Green.
Si expresamos D como región tal que:

donde g1 y g2 son funciones continuas, podemos computar la integral doble de la ecuación1:
 

Ahora particionamos C como la unión de cuatro curvas: C1, C2, C3, C4.

Con C1, se utilizan las ecuaciones paramétricas, x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b. Por lo tanto:

Con C3, se utilizanlas ecuaciones paramétricas, x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b. Entonces:

Con C2 y C4, x es una constante, significando:

Por lo tanto,

Combinando esto con la ecuación 4, tenemos:

Una pruebasimilar se puede emplear en la Eq.2.

Ejercicios:
Usar el Teorema de Green para calcular la integral de línea:
 
donde C es la gráfica ilustrada en la Figura 5:
 

 
Solución:
 
Como P = y3 y Q =x3 + 3xy2 , se tiene:
 
   y  
 
Aplicando el Teorema de Green:
 
 =
 =
 =
 =
 = = ¼
 Nota:
El teorema de Green no es aplicable a todas las integrales de línea. Entre otras restriccionesespecificadas en el teorema, la curva C ha de ser cerrada y simple.
 
 ) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0),...
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