Serialismo musical

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Las Matemáticas en el Serialismo Musical

LAS MATEMÁTICAS EN EL SERIALISMO MUSICAL
Manuel Domínguez Romero (*)
El comienzo del siglo XX fue una época de cambios para la música –al igual que para el resto de artes–. El sistema de composición, utilizado para componer toda la música en occidente desde el Renacimiento, la tonalidad –que se caracteriza principalmente por una jerarquía fija, quedetermina las relaciones entre las distintas notas de la escala– estaba llegando a su fin y cada vez eran más los compositores que daban muestras de querer desligarse de él. La corriente de compositores más importante, los serialistas, estuvo encabezada por Arnold Schönberg, Alban Berg y Anton von Webern. Hizo uso de un modelo científico para crear un sistema radicalmente nuevo, como ya ocurriese dealgún modo con los cubistas en la pintura. En la Geometría Axiomática se parte de unos elementos primarios que se definen indirectamente mediante una lista de axiomas tomados como verdaderos. De igual modo, Arnold Schönberg partió de la noción de serie definiéndola mediante los cuatro axiomas siguientes para determinar su geometría serial: 1. La serie consta de las doce notas de la escalacromática. 2. Ninguna nota aparece más de una vez en la serie. 3. La serie puede ser expuesta en cualquiera de sus aspectos lineales: aspecto básico, inversión, retrogradación e inversión retrogradada. 4. La serie puede usarse en sus cuatro aspectos desde cualquier nota de la escala. A cualquiera que no esté familiarizado con la jerga musical los cuatro axiomas anteriores puede que no le sugieran nada.Pero son muy sencillos de interpretar sin nociones musicales, como veremos a continuación. En la segunda parte del artículo se muestra hasta qué punto el material usado por un serialista para componer su música está regido por leyes matemáticas.

LOS CUATRO POSTULADOS DE SCHÖNBERG

1. Los dos primeros postulados implican que cada una de las doce notas aparece una única vez en la serie, de modoque ésta no es más que una permutación de la escala cromática:

Numerando las notas del 0 al 11 como en la figura, dar una serie no es más que establecer una biyección _:{0,1,2,...,11}_ {0,1,2,...,11}, de modo que por _(i) entendemos el número de la nota que en la serie ocupa el puesto i-ésimo. Esta permutación –al grupo de permutaciones de n elementos se le conoce como grupo simétrico Sn– suelerepresentarse del siguiente modo:

(*) Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Salamanca. Licenciado en Flauta de Pico por el Conservatorio Superior de Salamanca.

Mayo 2004 • 2004ko Maiatza

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Manuel Domínguez Romero

Por ejemplo, una de las obras más conocidas de Schönberg, “Variaciones para Orquesta op. 31” (de 1928) está compuesta a partir de la siguiente serie:

Estaserie la utilizaremos en todos los siguientes ejemplos y la denotaremos por serie V, mientras que a la correspondiente permutación la denotaremos υ:

2. Estudiemos ahora el significado del tercer postulado. Si únicamente se pudiese utilizar la serie de partida sin ninguna alteración, la obra sería sumamente monótona, y el compositor apenas tendría campo en el que trabajar. Para aumentar susrecursos, Schönberg admite en el sistema dos maneras de transformar una serie: la retrogradación y la inversión. La retrogradación (retrogradus = andar hacia atrás) consiste simplemente en leer del final al principio la serie dada; de modo que la primera nota de la serie original (serie básica S) será la última de la serie retrogradada (R), y recíprocamente, la primera de ésta corresponde a la última deaquélla. Por ejemplo, la retrogradación de la serie anterior será:

También puede conseguirse la retrogradación mediante una simetría especular. En la figura se muestran las últimas 6 notas de la serie original y las primeras seis de la retrogradada:

Invito al lector a que escriba la permutación correspondiente a esta serie y a que la compare con la permutación de la serie original. Si la...
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