Serie Armonica Y Geometrica

SUBTEMA 6.2.3.- Serie Armónica y Geométrica.

Definición de Serie geométrica

Aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por unaconstante).
Si llamamos a al primer término y k a la constante,
Sn = a + ak + ak2 + ak3 + ... + akn-1 = Σ akn-1
Multipliquemos ambos miembros por k:
kSn = ak +ak2 + ak3 + ak4 + ... + akn = Σ aknRestamos ambas ecuaciones:
Sn - kSn = a - akn
(a-akn)
Sn = -------
(1-k)
a akn
Sn = --- - ---
1-k 1-k
Para |k| < 1 lim Sn = a/(1-k) pues kn -> 0, la serie geométricaconverge.
Para |k| > 1 la serie diverge pues kn -> inf.
Para |k| = 1 la serie diverge pues Sn = na.
Para |k| = -1 la serie es oscilante.
D Osc C D D
------|------|------
-1 1Definición de Serie telescópica

Serie tal que cada término se expresa como una diferencia de la forma an = bn - bn+1.

Si en una sucesión geométrica a1 es el primer término, an es eln-ésimo término, r es la razón y Sn es la suma de los n primeros términos, entonces tenemos que:
a1 (1-rn)
Sn =
1 - r
ó
a1 – r anSn =
1 - r

Ej. 1.- En la sucesión geométrica 1, 2, 4, ... calcular la suma de los primeros 7 términos.
a1 = 1
r = 2/1 = 2
n = 7
S7 = ?
(1)(1 - 27 ) (1) (1 - 128) -127
S7 = = =
1 – 2 1 – 2 - 1S7 = 127
EJERCICIOS:
a).- La sucesión 1/3, 2/5, 3/7, ___, ___,… es una sucesión infinita. Calcular el cuarto y quinto
término. Respuesta: 4/9, 5/11.
b).- La sucesión 1, -1/2, 1/3,-1/4, ___, ___,... es una sucesión infinita. Calcular el quinto y sexto término. Respuesta: 1/5, -1/6.
c).- La sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15, ___, ___,…es una sucesión infinita. Calcular el...