serie de ejercicios formas bilineales n hellip

Escuela Politécnica Nacional
Algebra Lineal II y Cuadrática
Solución Serie de Ejercicios Formas Bilineales y
Cuadráticas
Alejandro Coloma
Noviembre del 2009

1. Se consideran las siguientes aplicaciones
f1 : R3 × R3 → R
(x, y) → f1 (x, y) = x1 y3 + 2x1 y1 − x2 y1 − 4x2 y3
f2 : R2 × R2 → R
(x, y) → f1 (x, y) = x1 y1 + 2x1 y2 − x2 y1 + 3x2 y2
a) Mostrar que son formas bilineales
b) ¿Son simétricas?¿Son antisimétricas? Si no se tiene ninguna de las dos, escribir la forma bilineal
como la suma de una forma bilineal simétrica y una forma bilineal antisimétrica. ¿Esta escritura
es única?
c) Dar las matrices asociadas a las bases canónicas y las matrices asociadas a las bases
B1 = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} y B2 = {(1, 1), (1, 2)}
d) Dar las respectivas formas cuadráticas asociadasDesarrollo:
a) Demostración. Sea x, y, x , y ∈ R3 , α, β ∈ R. Mostraremos que f1 es bilineal
P.D. f1 (x + αx , y) = f1 (x, y) + αf1 (x , y)
f1 (x + αx , y) = (x1 + αx1 )y3 + 2(x1 + αx1 )y1 − (x2 + αx2 )y1 − 4(x2 + αx2 )y3
= α(x1 y3 + 2x1 y1 − x2 y1 − 4x2 y3 ) + x1 y3 + 2x1 y1 − x2 y1 − 4x2 y3
= f1 (x, y) + αf1 (x , y)
P.D. f1 (x, y + βy ) = f1 (x, y) + βf1 (x, y )
f1 (x, y + βy ) = x1 (y3 + βy3 ) + 2x1(y3 + βy3 ) − x” (y1 + βy1 ) − 4x2 (y3 + βy3 )
= x1 y3 + 2x1 y1 − x2 y1 − 4x2 y3 + β(x1 y3 + 2x1 y1 − x2 y1 − 4x2 y3 )
= f1 (x, y) + βf1 (x, y )

Demostración. Sea x, y, x , y ∈ R2 , α, β ∈ R. Mostraremos que f2 es bilineal

1

P.D. f2 (x + αx , y) = f2 (x, y) + αf2 (x , y)
f2 (x + αx , y) = (x1 + αx1 )y1 + 2(x1 + αx1 )y2 − (x2 + αx2 )y1 + 3(x2 + αx2 )y2
= α(x1 y1 + 2x1 y2 − x2 y1 + 3x2 y2 ) +x1 y1 + 2x1 y1 − x2 y1 + 3x2 y1
= f2 (x, y) + αf2 (x , y)
P.D. f2 (x, y + βy ) = f2 (x, y) + βf2 (x, y )
f2 (x, y + βy ) = x1 (y1 + βy1 ) + 2x1 (y2 + βy2 ) − x2 (y1 + βy1 ) + 3x2 (y1 + βy1 )
= x1 y1 + 2x1 y1 − x2 y1 + 3x2 y1 + β(x1 y1 + 2x1 y1 − x2 y1 + 3x2 y1 )
= f2 (x, y) + βf2 (x, y )

b)
f1 (y, x) = y1 x3 + 2y1 x1 − y2 x1 − 4y2 x3
= x3 y1 + 2x1 y1 − x1 y2 − 4x3 y2
= f1 (x, y)
Entonces f1 no essimétrica
−f1 (y, x) = −y1 x3 − 2y1 x1 + y2 x1 + 4y2 x3
= x1 y2 + 4x3 y2 − x3 y1 − 2x1 y1
= f1 (x, y)
Entonces f1 no es antisimétrica
f1 (x, y) =

1
1
f1 (x, y) + f1T (x, y) + f1 (x, y) − f1T (x, y)
2
2
ϕ(x,y)

ψ(x,y)

donde
f1T (x, y) = [x]TB ATf1 [y]B
ϕ es simétrica y ψ es antisimétrica (¡Verifíquelo!), la escritura es única.

f2 (y, x) = y1 x1 + 2y1 x2 − y2 x1 + y2 x2
= x1 y1 − x1 y2 + 2x2 y1 +x2 y2
= f2 (x, y)
Entonces f2 no es simétrica
−f2 (y, x) = −y1 x1 − 2y1 x2 + y2 x1 − y2 x2
= x1 y2 − x1 y1 − 2x2 y1 − x2 y2
= f2 (x, y)
Entonces f2 no es antisimétrica
f2 (x, y) =

1
1
f2 (x, y) + f2T (x, y) + f2 (x, y) − f2T (x, y)
2
2
φ(x,y)

donde
f2T (x, y) = [x]TB ATf2 [y]B
φ es simétrica y σ es antisimétrica, la escritura es única.
2

σ(x,y)

c) Sea BC = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1)}




ABC





2 0 1
f1 (e1 , e1 ) f1 (e1 , e2 ) f1 (e1 , e3 )

 

= f1 (e2 , e1 ) f1 (e2 , e2 ) f1 (e2 , e3 ) = −1 0 −4
0 0 0
f1 (e3 , e1 ) f1 (e3 , e2 ) f1 (e3 , e3 )

Como esta matriz no es simétrica ni antisimétrica, se verifica que f1 no es simétrica ni antisimétrica
Sean ui elementos de B1 i = 1, 2, 3




AB1





−2 −2 1
f1 (u1 , u1 ) f1 (u1 , u2 ) f1 (u1 , u3 )
 

3 2
= f1 (u2 , u1 ) f1 (u2 , u2 ) f1 (u2 , u3 ) =  3
−2 −2 1
f1 (u3 , u1 ) f1 (u3 , u2 ) f1 (u3 , u3 )

Se puede verificar que esta matriz también se la puede obtener mediante
AB1 = PBTC ←B1 ABC PBC ←B1
Para f2 , se tiene:
BC = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}
ABC =

f2 (e1 , e1 ) f2 (e1 , e2 )
1 2
=
f2 (e2 , e1 ) f2 (e2 , e2 )
−1 3

Como esta matriz no es simétrica ni antisimétrica, severifica que f2 no es simétrica ni antisimétrica
AB2

= PBTC ←B2 ABC PBC ←B2
=

1 1
1 2

=

5 10
7 15

1 2
−1 3

1 1
1 1
=
1 2
1 2

3 5
2 5

d)
q1 (x) = f1 (x, x) = x1 x3 + 2x21 − x1 x2 − 4x2 x3
q2 (x) = f2 (x, x) = x21 + x1 x2 + 3x22
2. Sea E = ℘2 [t]
a) Se define
ϕ: E × E → R
1

(P, Q) → ϕ(P, Q) =

tP (t)Q(t)dt
−1

Mostrar que es una forma bilineal simétrica y escribir su matriz respecto a la base...