Serie de funciones (matematica)

Series de Funciones
Sucesiones:
Sea una sucesión de funciones ( ). Decimos que converge puntualmente en A a una función , que se llama función imite, si para cada x0" A se verifica que:

Es decir, si "x0"A, " >0,"n0 "N / "n"n0!|fn(x0)-f(x0)| 0 existe M >0 tal que [an - L] < ð siempre que n > M, entonces decimos que el límite de la sucesión {an} es L y escribimos:
Limn-ðð an= L
Lassucesiones que tienen límite (finito) se llaman convergentes y las demás divergentes.
Sea f función de una variable real tal que :
Límx-∞ f (x) = L
Si {an}es una sucesión tal que f (n) = an para todo entero positivo n, entonces :
Límn-∞ an = L
Propiedades de los Límites de las sucesiones:
Si: Límn-∞an= L y Límn-∞ bn = K
Las siguientes propiedades son válidas:
Límn-∞(an+- bn) = L +- KLímn-∞ can = cL, c es cualquier número real.
Límn-∞ (an bn) = LK
Límn-∞ an/bn = L/K, solo si bn es diferente de 0
Criterios de las series telescópicas:
Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:


Series geométricas:
Definición:
La serie dada por: ð∞n=0arn= a + ar + ar2 + ......... +arn +...., a diferente de 0, es llamada serie geométrica de razón r, el siguiente teorema da las condiciones para que sea convergente o divergente:
Convergencia de una serie geométrica: Una serie geométrica de razón r diverge si [r] mayor o igual a 1. Si 0 es menor que [r] y menor que 1, entonces la serie converge con la suma:
ð∞n=0 arn = a/ (1-r) , 0 menor que [r]menor que 1

Ejemplos de Series Geométricas:
La serie Geométrica:
ð∞n=0 3/2n = ð∞n=0 3(1/2)2 = 3(1) + 3(1/2) + 3(1/2)2 +….
Tiene razón r = ½ con a= 3 como 0 es menor que [r]y es menor que 1 la serie converge a:
a/1-r = 3/1-(1/2) = 6
La serie geométrica :
ðoon=0 (3/2)n = 1 +3/2 + 9/4 + 27/8 +…..
Tiene razón r = 3/2, como [r] es mayor que 1, la serie diverge
La sumatoria tiene unaspropiedades que se nombraran a continuación
Para n entero positivo y c constante, se cumple.
Para k entero positivo conjunto de números reales y c constante real, se cumple.
Para k entero positivo conjunto de números reales y c constante real, se cumple.
Para k entero positivo conjunto de números reales y c constante real, se cumple.

Estas propiedades se deducen de la las leyes asociativay conmutativa de la adición.

Criterio de la integral:
Criterio de la integral de Cauchy
Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces converge si y sólo si es finita.
Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie converge si y sólo si la integralconverge.

P-Series:
La p-serie es cualquiera de las series para p número real positivo.
La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p.
Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.
Serie armónica:
En matemáticas, se definela serie armónica como la siguiente serie infinita:

Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...
Criterios de compresión y comparación en el límite:
Comparación:
Criterio de comparación directa (de la mayorante o de Gauss)
Si
Si converge converge
Si diverge divergeCriterio de comparación por paso al límite del cociente

Entonces:
Si L = 0 y converge converge.
Si L = ∞ y diverge diverge.
En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).
Compresión:
En cálculo, el teorema del emparedado (llamado también teorema de encaje, teorema de intercalación, teorema de estricción, teorema del...