Serie de potencia

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Definición de Series de Potencias.
SERIES DE POTENCIAS

Según se verá más adelante, una propiedad fundamental de las funciones analíticas es que pueden representarse por medio de series depotencias.
Y recíprocamente, salvo excepciones triviales, toda serie de potencias convergente define una función analítica.
Por ello las series de potencias son herramienta fundamental en el estudio de lasfunciones analíticas.
Definición

“Una serie de potencias en torno al punto z0, es una serie funcional de la forma:
C ”

Se trata de discutir su convergencia y estudiar propiedades dela suma como función de z.
Como de se pasa a la por un simple cambio de origen, se estudiará exclusivamente esa segunda serie.


Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión deltipo
, en donde
Es decir

Por ejemplo

en donde todos los valen 1, o

Y todos sus .
Es interesante saber cuáles son los valores dex  R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, es 1 + 0 + 0 +....+ 0+... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.

Pero para x = 1/2 es



Que es una seriegeométrica de razón y su suma con lo que la serie es convergente. Más aún, es una serie geométrica de razón x y será convergente si , es decir si ,
Siendo .
Si se cumple esta condición:Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe exactamente a una función. En este caso a , pero solo en el intervalo (-1;1).

GráficamenteSólo definida en la parte marcada gruesa por la serie

Si en el segundo ejemplo tomamos x...
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